基于混合粒子群的核磁共振反演算法研究

宋 鵬 王國富

（桂林電子科技大學信息與通信學院，廣西 桂林 541000）

核磁共振找水反演是地球物理反演的分支，近年來出現了奇異值分解反演、模擬退火反演等方法研究。目前，粒子群優化算法廣泛應用于調度、模式識別、模糊系統控制、盲源分離等領域。在地球物理反演領域，主要應用于波阻抗反演[1]和磁測資料反演[2]中，而在核磁共振反演領域的應用很少。本文在研究核磁共振反演理論的基礎之上，應用帶非線性約束優化的混合粒子群算法，對核磁共振人工合成數據進行數值反演仿真分析，開拓了粒子群優化算法的新應用領域，同時，為進一步研究核磁共振反演方法提供理論依據。

1 核磁共振找水非線性反演理論

核磁共振找水反演，是將核磁共振數據資料解釋成地下水文地質參數，本文主要解釋其中的地下含水量分布。它的主要方法可以分為線性反演方法和非線性反演方法兩大類。傳統的線性反演方法在對地下低電阻介質情況下的數據進行反演時，反演結果精度較差。非線性反演方法可以解決這一問題，非線性反演方法一般采用最優化方法的理論求取地下含水量分布，即使用吉洪諾夫泛函[3]作為最優化的目標函數，目標函數表達式如下所示：

并使目標函數最小化。核磁共振找水非線性反演的

方程中，A為核函數矩陣，e0表示觀測到的初始振幅值，Nη即為需要求解的含水量值，是使吉洪諾夫泛函最小的解向量。

2 粒子群反演算法

粒子群反演算法[4]是地球物理非線性反演方法中的一種，其中，粒子群算法（Particle Swarm Optimzation，簡稱PSO)是Kennedy和Eberhart提出的基于仿生學原理發展起來的智能優化算法。為求得目標函數f(x)達到最優解xp（最小值）的相應x值，應用粒子群算法的具體步驟為：

（1）給定粒子數目n，自變量x的個數m。隨機初始化所有粒子的位置xn×m和速度vn×m。

（2）存儲當前各粒子的位置（記為）和相應的適應度值，找到的最小值，并記錄相應 f( xp)的位置， f( xp)記為xpg。

（3）按照公式（2）和公式（3）更新粒子的速度和位置。公式中，w為慣性權重，c1、c2為正的學習因子， r1和r2為0到1之間均勻分布的隨機數。p為當前的個體極小值，pg,ji,j為當前的全局極小值。

（4）更新后的適應度值f(x)與步驟2中的f(xp)值進行比較，較小值的相應位置作為當前的xp，當前的 f(xp)再與f(xpg)進行比較，較小值的相應位置作為當前的xpg。

（5）給定迭代次數，作為調節粒子速度和位置的次數，若未停止迭代，返回步驟（3）繼續搜索，若停止迭代，此時的xpg為最優位置，f（xpg）為最優解。

3 混合粒子群反演算法

為了避免基本粒子群算法陷入局部極小解，引入模擬退火算法[5]，該算法的概率受溫度參數的控制，具有概率突跳的能力，概率的大小隨溫度下降而減小。混合粒子群反演算法的具體步驟如下：

（1）將種群中的各微粒的位置、速度進行隨機初始化；

（2）對各個微粒的適應度（相應的函數值）進行評價，存儲當前各微粒的位置，設為pi，存儲全局最優個體的位置，設為pg；

（3）給定初始溫度，根據公式（4）確定各pi的適配值：

（4）根據輪盤賭機制確定全局最優值的相應粒子位置pgbest，并根據公式（5）和公式（6）更新微粒的速度和位置：

（5）更新各微粒的局部pi值和全局pg值，并進行退溫操作；

（6）若滿足預設的運算精度或迭代次數，停止搜索，輸出最優位置和最優值，否則轉到步驟（3）；

為了將粒子群優化算法適用于核磁共振找水反演中，設定非線性約束條件：作為粒子位置的可行域，各粒子在該可行域內調節相應的位置，搜尋最優解。

4 測試函數數值計算

選擇 3個常用的測試函數[6]來驗證混合粒子群算法的有效性。

函數一：Sphere函數，函數表達式為：

函數一在 xi=0處達到全局極小點，本文計算結果為0.000029465。函數一的迭代過程如圖1所示。

圖 1 sphere函數迭代過程

函數二：Rosenbrock函數,函數表達式為：

函數二在 xi=1時達到全局極小點，本文利用混合粒子群算法的計算結果為0.9984。函數二的迭代過程如圖2所示。

圖2 Rosenbrock函數迭代過程

函數三：Rastrigin函數，函數表達式為：

函數三是多峰函數，在 xi=0處達到全局極小點，本文計算結果為0.0000013189。函數三的迭代過程如圖3所示。

圖3

5 基于混合粒子群反演實驗分析

在均勻半空間條件下，假設大回線源線圈的半徑為50m，地下電阻率50Ω，地磁傾角60°。對目標函數應用粒子群優化算法進行最優化求解，正演擬合初始振幅如圖（a）所示。反演擬合含水量如圖（b)所示。

圖4 粒子群反演擬合結果

淺水層的反演擬合效果較好，深水層反演擬合效果較差，但是整體的垂直分辨率較高。由此可見，混合粒子群反演算法適合于核磁共振找水反演中。

[1] 易遠元,王家映.粒子群反演方法[J].工程地球物理學報,2009,6(4):385-389.

[2] 張大蓮,劉天佑,陳石羨,等.粒子群算法在磁測資料井地聯合反演中的應用[J].物探與化探,2009,33(5):571-576.

[3] 林君,段清明,王應吉,等.核磁共振找水儀原理與應用[M].北京:科學出版社,2010.

[4] 方偉,孫俊,須文波.一種多樣性控制的粒子群優化算法[J].控制與決策,2008,23(8):863-868.

[5] 王華秋,曹長修.基于模擬退火的并行粒子群優化研究[J].控制與決策,2005,20(5):500-504.

[6] 熊勇.粒子群優化算法的行為分析與應用實例[D].杭州:浙江大學,2005.