一類控制模型的穩定性和單調性分析

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(上海師范大學 數理學院，上海 200234)

0 簡 介

基于反饋控制系統的設計可以解決3個問題：(1)漸近跟蹤和干擾抑制類等信號，如階躍、斜坡、正弦輸入信號；(2)穩定性和魯棒穩定性；(3)瞬時響應控制.其中前兩個問題已經被很多人研究過[1-3].

對每一個控制系統來說，良好的瞬時響應是最重要的要求之一.在[4]中，提出了某一類所有極點都是負的互異實數的傳遞函數和其解析表達式，并證明了在封閉形式下，文章提出的分析公式，能被用來確定零點和最小的瞬時時間.在文[5]里提出的l1優化控制方法，明確地論述了在有界幅度輸入下的時域響應問題，它也是少有的“現代”研究時間響應控制方法之一[6].基于漸近時間尺度和特征結構配置，對存在初始條件和外部約束的最小相位的多輸入多輸出系統，可以很好地解決跟蹤問題，詳細的方法見文[7].在文[8]和[9]中，主要討論了欠控制階躍響應和無最小相位零點的關系，而在文[10]和[11]中，提出了離散時間系統的無超調量控制.在[12]和[13]里，對傳統控制方法作了很好的總結.

這里用一些新的結果來直接處理瞬時響應控制問題.其主要思想是根據特征多項式的系數和時域響應的關系.而這些關系是 Naslin 在1960年代初提出的，具體可見文[14].Manabe 在如何獲得良好的動態響應控制系統的問題上，做出了重要的貢獻[15].他利用系數圖著重研究設備的一般行為，并已為許多工業系統成功地設計了控制器.而所謂的系數圖則是以取對數標度來描繪設備系數和特征多項式的一種方法.這里，首先定義兩個重要的參數集，分別被稱為廣義時間常數和特征比值.而這些參數呈現在多項式的系數里.這些依賴時域響應的參數，特別是響應速度和超調量，它們的特性是通過分析獲得的.基于這些特性，本文作者設計了理想的傳遞函數和控制器，該控制器是最小相位的，同時其設計由相應程序給出.所得控制系統的瞬時響應滿足獨立指定超調量和上升時間.該控制器可能是狀態反饋加前饋的控制器或雙參數類型的控制器.同樣的程序可用于非最小相位系統，也可能實現減少超調量和加快響應速度，盡管這些參數不能獨立指定.Kim 等人已經較成功地利用了CRA[16]的方法，消除瞬時響應系統的超調量和加快系統響應速度.本研究在文獻[16]基礎上，來討論雙參數配置的控制問題，根據控制器結構 (圖 1) 不妨考慮全極點傳遞函數G(s)：

G(s)

(1)

在控制系統控制器設計時，由于現實情況，都會加入一些控制變量進去，以便進行更好地控制檢測.如果(1)中p(s)是含有控制變量系數的多項式，系數ai(i=0,1,2,…,n)滿足以下條件：

這里τ是一個常數.

本文作者將討論使得多項式p(s)滿足單調遞增以及所有根的實部是非負的參數μ的條件，并進一步分析該系統的超調量和響應時間.

圖1 雙參數控制

1 單調性分析

先取

(2)

然后βk可以由γk表示,于是有：

βk=μγk,

(3)

(4)

(5)

所以就得到：

(6)

(7)

那么:

于是:

通過逐項累乘，于是就有：

由上很容易就得到以下公式：

(8)

其中a0=1.可以簡化為：

(9)

可知：

(10)

事實上,有下面遞推式：

(11)

那么，可以令：

(12)

引理1對于在 (12) 式中定義的Λk，有下面的 5 個結論:

(i)Λ1=Λn-1,Λ2=Λn-2,…

(13)

(iii) 隨著n的增加，Λk逐漸減小.

(iv) 已知兩個自然數n1和n2(n2

Λk(n1)≤Λk(n2) ,

(14)

等號當且僅當k=1時成立.

(v)

(15)

當n=2m-1 時，

當n=2m時，同理可得Λm-1=Λm+1.

(ii) 按照 (i)，能得到下面的結論：

所以Λk(n) 隨著n增加而減少.

(iv) 根據結論 (iii)，當n1>n2時，對任意的k有:

Λk(n1)>Λk(n2) ,

等號當且僅當k=1時成立.

(v)

定理1.1令p(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0,這里ai滿足式子(8)，如果μ≥2，那么:

(i) 頻率幅度函數 |p(jw)| 是單調遞增的；

(ii)p(s) 的所有根的實部是非負的.

證明(i) 先考慮p(s) 的頻率幅度函數 |p(jw)| 的平方，即:

根據式子(8)，(11)，可以定義:

那么:

(16)

(17)

那么G(ω)是單調遞增的.

也就是，對μ≥2,i=1,2,…,n-1,每個ζk為正,所以得證.

其中:

于是定義:

對于所有w≥ 0 .

(18)

式子(18)等價于:

(19)

對于所有w≥ 0.

如果n是奇數(即n=2m+1)，仿照(19)式，可以得到:

(20)

這里k=1,2,…,n-2，要證明此式成立，需要借助下面 (21) 式.

(21)

從(20)式，知道如果所有的ηi是正的，那么在(19)式中相位單調的條件滿足.由引理1的結論(i)，η1=ηn-2,η2=ηn-3,…,

(22)

因此，可知ηi>0(i=1,2,…,m或m-1).從引理1的結論(ii)，發現下面事實：

這里

(23)

在滿足式子(21)，(23)的條件下，很顯然對任意i，如果有ηi(n1)是正的，那么ηi(n)也是正的,n>n1.當n→∞,k=1,2,…,n-2時，

于是當k≤m時:

?μ>2 ,

證明完成.

在定理1.1的基礎上，進一步刻畫μ的值.

定理1.2如果μ>1成立，p(s)(滿足式(1))的幅度頻率響應G(ω) 單調遞增.

證明考慮 (10)，(17) 式，如果有:

(24)

基于以上結論，嘗試運用數學軟件Mathematica進行驗證，數值結果顯示有μ>μk，其中μk的部分值見表1.

定義Dμ(i,i+1)=|μi+1-μi|,i=3,4,…,n,…能夠得到下面的事實:

Dμ(i,i+1)

2 穩定性分析

引理2考慮多項式f(s)=ansn+an-1sn-1+…+a1s+a0，如果多項式f(s)系數滿足：

(i) 當i=1,2,…,n-2且n≠5時,ai-1ai+2> 0.4655aiai+1;

(ii) 當i=1,2,…,n-2且n=5時,ai-1ai+2> 0.4655aiai+1.

那么多項式f(s)是Hurwitz穩定的.

利用引理2，多項式p(s)是Hurwitz穩定的，只要以下條件成立:

引理3如果n≥2，那么:

證明定義:

則有:

顯然:

因此A(i)在i=j時取到最大值.

定理2.1多項式p(s) 是 Hurwitz 穩定的，如果滿足條件:

令:

容易計算，g(n)-g(n-1)≥0，所以當n→∞時，g取到最大值，即：g=1/0.4655=2.1482.因此μ≥1.46568.同時，通過數學軟件的驗證，也發現μ>μk，其中μk的值見表2.

類似的，定義Lμ(i,i+1)=|μi+1-μi|，i=3,4,…,n,…可得到：

Lμ(i,i+1)

Lμ(1000000,5000000)?0 .

所以得到一個結論:只要μ≥ 1.46568,p(s) 滿足 Hurwitz 穩定而且單調遞增.

表1 μk的值

表2 μk的值

3 例 子

圖2 不同的μ，不同的階躍響應曲線

圖3 μ=1.8，不同的τ值，不同階躍響應曲線

參考文獻:

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