干涉儀相位差測量精度及其影響因素分析＊

石 榮，閻 劍，張 聰

（電子信息控制國家重點實驗室，四川 成都610036）

0 引言

干涉儀測向在頻譜監管、電子偵察等領域應用廣泛。大量文獻對干涉儀測向的工作原理、設計準則、數據處理流程與使用方法等各個方面進行了全面的闡述［1-3］，部分文獻還對干涉儀相位測量誤差和測向精度問題進行了分析［4-5］，但是目前從普遍意義上來探討干涉儀相位差測量精度與主要影響因素的并不多。本文主要針對干涉儀對單頻電磁波測向應用中的通道間相位差測量精度問題展開討論，建立了相關的數學模型，在頻域對干涉儀相位差測量所能達到的精度進行了理論分析，討論了影響測量精度的幾個主要因素，并通過仿真對相關的分析結果進行了有效性驗證，這對于干涉儀測向應用的分析論證與實際工程使用具有一定的參考意義。

1 干涉儀通道間相位差的測量方法

在單頻平面電磁波條件下，設干涉儀的2個接收通道分別為A 與B，它們所接收到的信號分別為：

式中，t∈［0，ΔT］，ΔT 為測量時間，信號頻率為f0，初始相位為φ，幅度為α，nA（t）與nB（t）分別是A 與B 兩個接收通道引入的噪聲與干擾，φ 為兩通道接收信號的相位差，且：

式中，d 為兩通道所對應的干涉儀兩個接收天線之間的間距，λ為電磁波波長，θ為平面電磁波與天線視軸之間的夾角。由此可見，只要知道通道相位差φ 的測量精度，結合干涉儀基線參數與信號波長參數，就可以推導出干涉儀測向值θ所能達到的精度。

對于式（1）、（2），傳統時域濾波求解過程是兩式直接相乘，以及其中一個通道經過相移90°后兩式相乘，2個乘積在低通濾波后可得到相位差的估計值，在不考慮噪聲與干擾項的條件下可得：

式中，Filter＿LP（·）表示低通濾波算子。由上述兩式可以直接求解出干涉儀兩通道之間的相位差φ。但是在考慮噪聲與干擾的條件下，通道間的乘積運算會因信號質量的下降而對測量精度產生影響，特別是在低信噪比條件下尤為突出。所以高精度的相位差測量都采用頻域求解法。設式（1）、（2）所表示的信號在A／D采樣后分別為：

式中，m∈［1，N］，信號采樣長度為N個點，采樣頻率為fs，且fsΔT 為N。對采樣后的兩通道信號分別進行DFT 離散傅里葉變換，即：

式中，k∈［1，N］，ωN為exp（-i2πN-1），并假設K0為，于是有下式成立：

式中，NA（k）和NB（k）分別是通道噪聲與干擾nA（m）和nB（m）的DTF序列。由上可見，在頻域內通過被測信號所在頻點處對應的相位值，可直接得到通道相位φ 與φ＋φ的估計值，進而求得通道相位差（φ＋φ）-φ的估計值＾φ。為理論推導的簡潔性，避免DFT 過程中單頻信號在頻域出現頻譜泄漏現象，上述分析過程中實際隱含著KD為整數的假設。在實際應用中，也可以通過補零DFT 等方法，增大DFT 運算點數以避免頻域的頻譜泄漏。這同樣可以在信號所在頻率點處獲得通道相位的估計值，且不影響整個理論模型的有效性。

2 相位差測量精度的理論模型與影響因素

2.1 信號空間模型與測量精度分析

前一小節直接從頻域來估計通道中信號的相位值，在測量持續時間內的單頻信號變換到頻域，將會把信號能量集中在一個頻率點上，其頻域幅值記為X。如果在矢量信號空間中來分析這一問題，實際上可以描述為一個信號矢量X 和一個噪聲與干擾矢量N 疊加合成一個綜合矢量Y，相位測量值＾φ 是綜合矢量X對應的相位值，而真實的相位值φ 是信號矢量X 對應的相位值，記相位估計誤差Δφ 為＾φ-φ，Δφ∈（-π，π］，整個信號空間矢量疊加與相位求解如圖1所示。

圖1 頻域信號矢量疊加與相位求解關系示意圖

設被測信號所在頻點上的噪聲與干擾矢量N 的幅度為V，相位為ζ，其二維概率密度分布為pdf（V，ζ）。這一個概率密度分布函數與干涉儀接收通道噪聲的概率分布有關，也與接收通道受到的干擾有關，不同的噪聲與干擾對應著不同的二維概率密度分布，難以唯一地進行顯式描述，但在實際應用中可以針對具體的干涉儀對象在不同頻率點處實際測量得到，所以后續可將pdf（V，ζ）作為一個已知參量來對待。

在Δφ 不為0，π的條件下，根據平面幾何的正弦定理，有下式成立：

于是可得相位值Δφ 與ζ 的二維聯合概率密度函數如下：

將上述二維概率密度分布轉換成相位估計誤差Δφ 的一維概率密度分布f（Δφ）如下：

在求得干涉儀每一個通道接收信號的相位值估計值之后，通過相減運算可直接得到干涉儀A 與B 兩通道間的相位差估計值＾φ，其測量精度可用方差來描述，如式（15）所示：

式中，fA（Δφ）和fB（Δφ）分別表示通道A 和B 的相位估計誤差的概率分布函數。

2.2 主要影響因素分析

從上面建立的干涉儀相位差測量精度理論模型可知，直接從數學方程上看，影響測量精度的參數有2個，分別是：頻域中噪聲與干擾矢量N 的概率分布函數，頻域中信號矢量X 的幅度｜X｜與噪聲干擾矢量N幅度V 的相對比值。

對于噪聲與干擾矢量N 的概率分布函數pdf（V，ζ）來說，其中的相位因素ζ，在［0，2π）范圍內一般服從均勻分布，而幅度因素V 的概率密度分布為：

1）瑞利分布

2）廣義瑞利分布或萊斯分布

式中，I0（·）表示零階修正貝塞爾函數，G 表示該頻率點上干擾的頻域幅度。該類分布一般在該頻率點的干擾為單音干擾，并且通道噪聲滿足AWGN 加性高斯白噪聲模型條件下成立。其中的單音干擾一般是由于變頻雜散、本振泄露等因素造成的，在寬帶干涉儀中比較常見。

3）對于其它類型的噪聲與干擾矢量幅度V 的概率密度分布，可以通過實測數據獲得。

根據DFT 的定義與性質，對于頻域中信號矢量X的幅度｜X｜與噪聲干擾矢量N 幅度V 的標準差的相對比值，可由如下2個因素來綜合描述：信號的綜合載噪比C／nz和測量持續時間ΔT，其中C 表示信號的功率，nz表示單位赫茲內噪聲與干擾分量的功率。由于綜合考慮了噪聲與干擾兩方面的因素，所以此處用綜合載噪比來表示，且有下式成立：

式中，MV表示V 的二階原點矩，即MV為（V，ζ）dVdζ。由前面的信號空間矢量分析圖可知，增加信號的綜合載噪比C／nz與測量持續時間ΔT，可以減少估計誤差的方差，從而提高干涉儀通道間相位差測量的精度。

綜上所述，干涉儀相位差測量精度的主要影響因素是：頻域中噪聲與干擾的概率分布函數，綜合載噪比和測量持續時間。實際上上述3個因素的相互作用是比較復雜的，主要是因為工程實際應用中干涉儀通道中噪聲與干擾的概率分布繁雜，直接用顯式的數學表達式來描述比較困難，但是另一方面也可以通過實際測量數據來獲得干涉儀通道中噪聲與干擾的概率分布函數，從而通過式（15）來對該干涉儀在不同條件下的通道相位差測量精度進行分析與評估。

2.3 僅考慮AWGN 條件下的精度分析結果

前面論述了影響干涉儀相位差測量精度的3個主要因素，其中最復雜的因素是噪聲與干擾的概率分布函數，不同的分布函數將導致不同的測量精度。其中最簡單的一種概率分布函數就是僅考慮AWGN 加性高斯白噪聲，此時矢量N 的相位服從均勻分布，幅度服從瑞利分布，且有MV為2σ2N。假設干涉儀2個通道之間具有良好的一致性，即噪聲的概率分布特性是一樣的，下面以幾種典型情況為例來加以說明：

1）（C／nzΔT）1／2?1的情況。從平均意義上說，此時頻域中信號矢量幅度遠大于噪聲矢量幅度。

2）（C／nzΔT）1／2大約為2～3時的臨界情況。從平均意義上說，此時頻域中信號矢量幅度大約是噪聲矢量幅度的2～3倍，按照高斯分布特性2、3倍標準差內的幅度值出現的概率分別為：95.45%、99.73%，以此為門限做檢測與相位差測量是臨界情況。

如果（C／nzΔT）1／2低于臨界條件，則在頻域進行信號檢測較困難，在此基礎上實施干涉儀測向就更加困難了，所以干涉儀測向應用一般在臨界條件以上使用。綜上所述，在（C／nzΔT）1／2不同取值情況下，通過式（14）計算出的相位估計誤差的概率密度f（Δφ）如圖2所示。

圖2 在（C／nzΔT）1／2不同取值情況下Δφ 的概率密度分布圖

圖2中的7條曲線分別是（C／nzΔT）1／2為1，2，3，5，10，15，20時的曲線。利用上述概率密度分布函數，通過式（15）便可計算出干涉儀通道間相位差測量誤差＾φ的標準差與（C／nzΔT）1／2之間的關系如圖3所示。

圖3 σφ＾與（C／nzΔT）1／2的關系曲線圖

3 仿真分析

前面對干涉儀相位差測量精度的理論模型與主要影響因素進行了分析，下面針對不同條件通過蒙特卡羅仿真對上述理論推導得出的結果進行驗證。

仿真條件為：采樣率1GHz，信號測量時間長度取為1μs，對應1000個采樣點。單頻信號的載波頻率為125MHz，干涉儀兩個通道之間接收到的信號之間的相位差為0.6π，干涉儀接收通道中沒有干擾分量，僅存在AWGN 噪聲分量。（C／nzΔT）1／2分別取1～20時，通過蒙特卡羅仿真，可得到相位差測量誤差的標準差，將其繪制成曲線如圖4所示。

圖4 通過蒙特卡羅仿真得到的與（C／nzΔT）1／2的關系曲線圖

圖4中線型為虛線的曲線為反比參考曲線，實線曲線為仿真結果曲線。當C／nzΔT≥4時，標準差σφ＾與（C／nzΔT）1／2之間近似成反比關系；當C／nzΔT≤3時，二者之間的反比關系不再成立，相位差測量誤差迅速增大。通過圖4與圖3的對比可見，蒙特卡羅仿真得到的結果與前面理論推導的結果具有高度的一致性，這同時說明了前面理論模型的有效性。

4 結束語

本文針對干涉儀對單頻電磁波測向應用中接收通道間相位差測量的精度問題進行了理論分析，討論了影響測量精度的幾個主要因素，包括：信號綜合載噪比、測量時間、頻域噪聲與干擾的分布特性等。所得到的仿真結果與理論計算結果具有高度的一致性，從而驗證了理論分析的有效性。這樣在實際應用中，可直接利用上述理論分析得到的精度曲線，開展對干涉儀測向的系統設計，測量誤差分析等設計論證工作，所以本文的分析結果對于干涉儀測向的實際工程應用具有一定的參考意義。■

［1］王金輝.相位干涉儀測向系統算法研究［J］.電子質量，2010（3）：14-16.

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［3］胡宗愷，饒志宏.高精度數字鑒相技術的FPGA 實現［J］.通信技術，2010，43（12）：177-179.

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［5］王國華，李長滿，許劍鋒.數字化寬帶測向系統中的相位差測量及誤差分析［J］.電子技術，2009（1）：61-64.