證明費馬大定理

瘦豬

皮埃爾·德·費馬無疑是數學史上最令人著迷的家伙之一。他出生于17世紀法國一個商人家庭，仕途一帆風順，以至于有資格在姓氏中使用“de”這個代表貴族身份的前綴。費馬把所有的業余時間都用在了數學上，卻被《業余大數學家的數學》一書的作者排除在外，“他那么杰出，應該算專業數學家”。

古希臘數學家丟番圖所著的《算術》跟隨了費馬一生，他在這本書上簡單潦草地記下了48個評注。費馬說過，他對每個評注都有一個證明，所以它們是定理，但他對此要么根本沒有解釋，要么僅僅給出一點點證明提示。

后人前赴后繼去求證費馬潦草筆記的正確性。例如：大于2的任意質數可以表示為4n+1或4n-1兩種形式，其中n是某個整數。例如：第一類質數總是兩個平方數之和，而第二類質數永遠不能表示成這種形式。證明這種性質對每一個質數都成立非常困難，大數學家歐拉經過7年的努力，幾乎是在費馬去世整整一個世紀后才成功證明。

實際上，在后人證明這些評注之前，它們應該叫猜想而非定理。但是隨著時間流逝，費馬猜想一個個被證明——除了“費馬大定理”，因此它也常被叫做“費馬最后定理”。

讀《算術》第二卷時，費馬觀察著畢達哥拉斯定理——也叫勾股定理，它有幾十種證明方法。如果將畢達哥拉斯方程x2+y2=z2中x、y、z的2次冪升級到3次冪會怎樣？他發現方程將沒有整數解。他試著將其變為4次冪、5次冪……結果都沒有整數解。在數的無限世界里，竟沒有“費馬三元組”的位置，這似乎是不可能的。費馬在這個結論后面，寫下了令一代又一代數學家為之苦惱的一段話：“我有一個對這個命題的十分美妙的證明，這里空白太小，寫不下。”

這個問題困擾人類長達3個多世紀。費馬十分滿意自己對數學界的挑戰。他并非與數學界毫無接觸，事實上，他與他們通信，在信中他敘述自己的最新定理，卻不提供證明。這種明顯的挑釁叫他人無法忍受，有人叫他“那個該詛咒的法國佬”。費馬僅有的一次與他人探討數學的通信是同帕斯卡，他們探討了概率論。當帕斯卡催促費馬發表他的某個成果時，這個喜歡惡作劇的數學家說：“不管我的哪個工作被確定值得發表，我不想其中出現我的名字。”我們不能希求費馬改變個性，只能埋怨當時的出版商為何不將書籍的頁邊弄得更大一些。

歐拉只證明了3次冪的形式。“數學家之王”高斯雖然沒有研究過費馬大定理，但當他得知女數學家熱爾曼對證明費馬大定理有突破性進展時，一反常態，顯得驚喜萬分。1825年，兩位年紀相差一代的數學家在熱爾曼的基礎上同時獨立證明了5次冪。14年后，法國人拉梅 證明了7次冪。在熱爾曼的研究取得突破性進展后，法國科學院為費馬大定理設立了專項獎勵，但此后每一次有人聲稱成功證明了費馬大定理，最終都被發現存在致命漏洞。

數學與物理、化學等學科不同，這些學科由假設開始，然后再在自然界或實驗室進行進一步驗證，而數學則一開始就要求唯真。或許，這也正是數學的迷人之處。

1908年的某一天，數學愛好者、德國人沃爾夫斯基凱爾因失戀決定自殺。自殺前他在圖書館看到了費馬大定理并為之著迷，他活了下來。后來，他立下遺囑，以2007年為限，獎勵第一個證明費馬大定理的人10萬馬克。全世界都為此瘋狂，以至于負責管理這筆錢的哥廷根皇家科學協會不得不印刷大量的退稿卡片來應付來自各地的信件。

最終，358年之后，英國人安德魯·懷爾斯于1995年證明了費馬大定理，那時費馬大定理已轉換為證明谷山-志村猜想。毫不夸張地說，懷爾斯動用了人類發明數學以來幾乎所有的知識，匯集了20世紀有關數論的所有突破性工作。他的證明寫了滿滿200頁，被分成6章，由6位世界頂級數學家獨立審核。懷爾斯的證明即使濃縮到最短，也有100頁之多，這與費馬留在頁邊的那段話格格不入。包括很多著名數學家在內的人認為，一定有以17世紀數學知識為基礎的簡潔巧妙的證明費馬大定理的方法。從這個意義上說，費馬大定理至今仍沒有被完美證明。

（北 岸摘自《人物》2013年第3期）