多參數(shù)恒Lyapunov指數(shù)譜Sprott-J系統(tǒng)及其數(shù)字硬件實現(xiàn)*

劉艷云 ，朱 雷

(1.常州紡織服裝職業(yè)技術(shù)學(xué)院機電工程系，江蘇常州213164;2.江蘇理工學(xué)院電氣信息工程學(xué)院，江蘇常州213001;3.南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院，南京210016)

自1963年美國氣象學(xué)家Lorenz在數(shù)值實驗中偶然發(fā)現(xiàn)Lorenz系統(tǒng)以來［1］，混沌理論研究得到了長期和廣泛的關(guān)注。1999年，Chen等利用混沌反控制方法發(fā)現(xiàn)了與Lorenz系統(tǒng)相似但拓?fù)洳坏葍r的Chen系統(tǒng)［2］。2002年，Lü等發(fā)現(xiàn)了實現(xiàn) Lorenz系統(tǒng)和Chen系統(tǒng)之間過渡的Lü系統(tǒng)［3］和連接上述3個系統(tǒng)的統(tǒng)一混沌系統(tǒng)［4］。從便于進行工程應(yīng)用的角度出發(fā)，構(gòu)建具有某些特殊動力學(xué)行為的混沌系統(tǒng)，使其產(chǎn)生混沌信號的幅度、相位等受系統(tǒng)參數(shù)控制，并呈現(xiàn)確定的控制規(guī)律，則易于實現(xiàn)參數(shù)調(diào)制或混沌鍵控，從而為混沌在通信系統(tǒng)中的應(yīng)用奠定理論基礎(chǔ)，恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)便是這樣一類系統(tǒng)。2009年，Li等在一個改進Colpitts振蕩器模型［5］的基礎(chǔ)上，將其非線性指數(shù)項改為分段線性的絕對值項，得到一個恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)［6］，在3個系統(tǒng)參數(shù)中，有一個參數(shù)具有恒Lya-punov指數(shù)譜和局部線性調(diào)幅特性，隨后，Li進一步對系統(tǒng)進行了改進［7］和推廣［8］。2011 年至今，文獻［9-11］相繼報道了一些具有單參數(shù)或雙參數(shù)恒Lyapunov指數(shù)譜特性的新混沌系統(tǒng)，但目前尚未發(fā)現(xiàn)關(guān)于多參數(shù)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)的報道。

1994年，美國學(xué)者Sprott在大量數(shù)值實驗的基礎(chǔ)上，提出了19種混沌系統(tǒng)，并為這些系統(tǒng)設(shè)置了固定的參數(shù)［12］，文獻［13］在其中的 Sprott-B 系統(tǒng)模型基礎(chǔ)上構(gòu)建了一個具有調(diào)幅特性的分段線性混沌系統(tǒng)，本文則以Sprott-J系統(tǒng)作為研究對象，將其定參數(shù)改為變參數(shù)并進行巧妙的恒Lyapunov指數(shù)譜鎖定，從而得到一個多參數(shù)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)。

1 系統(tǒng)模型

通過對Sprott-J系統(tǒng)進行多參數(shù)恒Lyapunov指數(shù)譜鎖定，得到如下系統(tǒng):

式中a，b，c，d為非零實參數(shù)，x，y，z為系統(tǒng)的狀態(tài)變量。當(dāng)取參數(shù)a=2，b=2，c=1，d=1 時，系統(tǒng)(1)便成為基本Sprott-J系統(tǒng)，系統(tǒng)存在一個典型的單渦卷混沌吸引子，如圖1所示。此時系統(tǒng)(1)的3個Lyapunov指數(shù)為LE1=0.074，LE2=0.003，LE3=-2.076，Lyapunov維數(shù)為dL=2.037。

圖1 系統(tǒng)(1)的相軌圖(a=2，b=2，c=1，d=1)

2 動力學(xué)特性分析

2.1 基本動力學(xué)特性分析

對于系統(tǒng)(1)，滿足

從而，當(dāng)b＞0時系統(tǒng)(1)耗散。系統(tǒng)(1)的平衡點為S=(0，0，0)，在平衡點S處線性化系統(tǒng)(1)，得其Jacobi矩陣:

及特征多項式:

根據(jù)Routh-Hurwitz判據(jù)，對于任意實數(shù)b，平衡點S均不穩(wěn)定，可能產(chǎn)生混沌，當(dāng)a=2，b=2，c=1，d=1時，平衡點S對應(yīng)的特征根為λ1=-2.314 6，λ2，3=0.157 3±1.305 2i，因此，此時平衡點S為指標(biāo)2的鞍焦點。

2.2 系統(tǒng)參數(shù)的影響

通過觀察特征多項式(4)可以發(fā)現(xiàn)，其特征值與b相關(guān)，與a，c，d無關(guān)。因此，參數(shù)b的改變可能導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)的演變，而參數(shù)a，c，d不影響系統(tǒng)在相空間上的動力學(xué)特征。下面通過Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖來進一步揭示參數(shù)a，b，c，d的改變對系統(tǒng)狀態(tài)及動力學(xué)行為的影響。

固定參數(shù)b=2，c=1，d=1，當(dāng)a∈［0.1，10］時，系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖2所示。從圖2可見，隨著a的變化，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜保持不變，此時的Lyapunov指數(shù)實質(zhì)就是系統(tǒng)在a=2，b=2，c=1，d=1 時的 Lyapunov指數(shù)值，而隨著a的增大，系統(tǒng)的輸出信號x的幅度增大，y和z的幅度保持不變。

圖2 a變化時系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖

固定參數(shù)a=2，c=1，d=1，當(dāng)b∈［1.4，3.4］時，系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖3所示。從圖3可見，隨著b的改變，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜發(fā)生明顯的變化并伴隨豐富而有趣的分岔模式，從而導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)在周期與混沌之間的演變。當(dāng)1.4≤b＜1.58，1.708＜b＜1.86，1.928＜b＜2.056或2.056 1＜b＜2.312時，有一個正的 Lyapunov指數(shù)，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài);當(dāng)1.58≤b≤1.708，1.86≤b≤1.928，2.056≤b≤2.0561 或2.312≤b≤3.4 時，最大Lyapunov指數(shù)為0，系統(tǒng)處于周期狀態(tài)，并且系統(tǒng)在b=1.688和b=1.868處分別出現(xiàn)倍周期分岔和反向倍周期分岔，從而由周期3狀態(tài)進入周期6狀態(tài);在b=2.448處出現(xiàn)反向倍周期分岔，由周期2狀態(tài)進入周期4狀態(tài);在b=3.02處出現(xiàn)反向倍周期分岔，由周期1狀態(tài)進入周期2狀態(tài)，這些周期狀態(tài)及其分岔模式的存在對系統(tǒng)向混沌狀態(tài)演變具有重要的作用，限于篇幅，這里僅給出兩個典型周期狀態(tài)的相軌圖，如圖4所示。

圖3 b變化時系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖

圖4 系統(tǒng)(1)的典型周期相軌圖(a=2，c=1，d=1)

固定參數(shù)a=2，b=2，d=1，當(dāng)c∈［0.2，2］時，系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖5所示。從圖5可見，隨著c的變化，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜保持不變，即系統(tǒng)在a=2，b=2，c=1，d=1 時的Lyapunov指數(shù)值，而系統(tǒng)的輸出信號x，y和z的幅度隨著c的增大而減小。

固定參數(shù)a=2，b=2，c=1，當(dāng)d∈［0.2，2］時，系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖如圖6所示。從圖6可見，隨著d的變化，系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)譜保持不變，同樣等于系統(tǒng)在a=2，b=2，c=1，d=1時的Lyapunov指數(shù)值，而系統(tǒng)的輸出信號x，y和z的幅度隨著d的增大而減小。

圖5 c變化時系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖

圖6 d變化時系統(tǒng)(1)的Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖

2.3 多參數(shù)調(diào)幅特性分析

上述數(shù)值仿真表明參數(shù)a，c，d變化時，系統(tǒng)(1)輸出信號的振蕩幅度部分或全部地發(fā)生變化，參數(shù)a，c，d具有局部線性或全局非線性調(diào)幅特性。這種局部線性與全局非線性并存的多參數(shù)調(diào)幅特性為混沌應(yīng)用于多參數(shù)聯(lián)合調(diào)制的復(fù)雜通信系統(tǒng)提供了理論基礎(chǔ)。

定理1系統(tǒng)參數(shù)a是局部線性調(diào)幅參數(shù)，輸出信號x的幅值與a呈線性關(guān)系變化，輸出信號y和z的幅值與a的變化無關(guān)。

證明令x=kx*(k≠0)，y=y*，z=z*，則系統(tǒng)(1)變?yōu)槿缦滦问?

由此可知，系統(tǒng)(1)的狀態(tài)變量x的線性調(diào)整等價于參數(shù)a的尺度變化，參數(shù)a是局部線性調(diào)幅參數(shù)，輸出信號x的幅值與a呈線性關(guān)系變化，輸出信號y和z的幅值與a的變化無關(guān)。證畢。

定理2系統(tǒng)參數(shù)c是全局非線性調(diào)幅參數(shù)，輸出信號x和z的幅值與c呈冪函數(shù)關(guān)系變化，其指數(shù)為-2，輸出信號y的幅值與c也呈冪函數(shù)關(guān)系變化，其指數(shù)為-1。

證明令x=k2x*，y=ky*，z=k2z*(k≠0)，則與定理1類似可以得證，這里過程從略。

定理3系統(tǒng)參數(shù)d是全局非線性調(diào)幅參數(shù)，輸出信號x，y和z的幅值與d呈冪函數(shù)關(guān)系變化，其指數(shù)為-1。

證明 令x=kx*，y=ky*，z=kz*(k≠0)，則與定理1類似可以得證，這里過程從略。

3 數(shù)字硬件實現(xiàn)與實驗驗證

以TI公司的16bit低功耗微控制器MSP430F249為核心，結(jié)合Linear Technology公司的16 bit高速并行D/A轉(zhuǎn)換器LTC1668和TI公司的高速運算放大器OPA2690，設(shè)計出混沌系統(tǒng)數(shù)字實現(xiàn)的硬件電路，其框圖如圖7所示。MSP430F249以數(shù)字方式實現(xiàn)混沌信號的實時生成，LTC1668將此數(shù)字信號轉(zhuǎn)為模擬電流信號，最后由OPA2690完成電流-電壓轉(zhuǎn)換，兩路混沌電壓信號VX和VY分別被送至示波器X和Y輸入端。

圖7 混沌系統(tǒng)數(shù)字實現(xiàn)框圖

為以數(shù)字方式實現(xiàn)系統(tǒng)(1)，須將其系統(tǒng)微分方程離散化為差分方程，這里采用簡單而高效的歐拉算法進行離散化處理，得到:

式中h為步長，n為迭代次數(shù)。

根據(jù)式(6)可以編制出基于MSP430F249的C語言程序，程序中設(shè)置h=0.001，設(shè)定參數(shù)a=2，c=1，d=1，并分別令b=2，b=1.65，b=2.4。采用具有高分辨率的安捷倫DSO7032A數(shù)字示波器對系統(tǒng)運行后得到的吸引子進行了實驗觀察，結(jié)果如圖8所示，與圖1、圖4對比可以發(fā)現(xiàn)，實驗結(jié)果與仿真結(jié)果保持一致，以數(shù)字方式完全可以實現(xiàn)本文所構(gòu)建的多參數(shù)恒Lyapunov指數(shù)譜Sprott-J系統(tǒng)。

圖8 系統(tǒng)(1)的實驗相軌圖(a=2，c=1，d=1)

4 結(jié)論

本文在基本Sprott-J系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，引入4個系統(tǒng)參數(shù)，巧妙地進行了恒Lyapunov指數(shù)譜鎖定，致使在系統(tǒng)特征多項式中消去3個參數(shù)，從而得到一個多參數(shù)恒Lyapunov指數(shù)譜混沌系統(tǒng)。采用相軌圖、Lyapunov指數(shù)譜和分岔圖等動力學(xué)手段對系統(tǒng)進行了數(shù)值仿真，研究結(jié)果表明，參數(shù)b可以決定系統(tǒng)的狀態(tài)及其演變，存在倍周期分岔和反向倍周期分岔通往混沌的道路，使系統(tǒng)在周期與混沌狀態(tài)之間演變，而另外3個參數(shù)a，c和d則擁有恒定的Lyapunov指數(shù)譜，從而使系統(tǒng)工作于魯棒混沌狀態(tài)。進一步的理論分析則揭示出這3個參數(shù)還具有局部線性或全局非線性調(diào)幅特性，因此易于實現(xiàn)多參數(shù)聯(lián)合調(diào)制或混沌鍵控，為混沌在復(fù)雜通信系統(tǒng)中的應(yīng)用打下理論基礎(chǔ)。此外，設(shè)計了以16 bit低功耗微控制器MSP430F249為核心的數(shù)字硬件電路，在基于歐拉算法進行離散化處理的基礎(chǔ)上，實現(xiàn)并驗證了本文所構(gòu)建的多參數(shù)恒Lyapunov指數(shù)譜Sprott-J系統(tǒng)，數(shù)字化的實現(xiàn)方式便于與現(xiàn)代數(shù)字通信和軟件無線電系統(tǒng)中的數(shù)字信號處理技術(shù)兼容，從而打下混沌系統(tǒng)應(yīng)用的工程基礎(chǔ)。

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