突破難點 掃除障礙

突破點1：一元一次方程概念的理解

例1 （黃岡市）關于x的一元一次方程（k2-1）xk-1+（k-1）x-8=0的解為_______.

【分析】由一元一次方程的定義可知，原方程是一元一次方程，則有兩種情況：

①當k-1=1，即k=2時，原方程3x+x-8=0，解之得x=2.

②當k2-1=0且k-1≠0時，也就是當k=-1時，原方程化為-2x-8=0，解之得x=-4.

所以原方程的解為x=2或x=-4，故答案為x=2或x=-4.

【解答】x=2或x=-4.

【點評】加深對一元一次方程概念的理解，才能在所給條件下根據概念具備的本質特征得出相應的結論（如本例中的k-1=1和k2-1=0且k-1≠0）.

突破點2：技巧性解法

例2 解下列方程：

（1） ■-■=1；

（2） ■■■x-■？搖-8=■x.

【分析】對于（1），將方程的兩邊同乘6，去掉分母；對第（2）題，不難看出，先用乘法分配律簡化方程，再求解較容易.

【解答】（1） 去分母，得2（2x+1）-（5x-1）=6；去括號，得4x+2-5x+1=6；移項，得-x=3；系數化為1，得x=-3.

（2） 去括號，得■x-■-6=■x；移項，合并同類項，得-x=■；系數化為1，得x=-■.

【點評】（1） ①去分母時，方程兩邊同乘各分母的最小公倍數，不要漏乘沒有分母的項；②去分母后，分數線起到括號的作用，尤其是分式前是負號的項. （2） 技巧性解法的發現需要認真觀察方程的結構特征，需要突破習慣性思維的束縛.

突破點3：方程的解的討論

當方程中的系數是用字母表示時，這樣的方程叫含字母系數的方程，含字母系數的一元一次方程總可以化為ax=b的形式，繼續求解時，一般要對字母系數a、b進行討論.

（1） 當a≠0時，方程有唯一解，x=■；

（2） 當a=0，b≠0時，方程無解；

（3） 當a=0，b=0時，方程有無數個解.

例3 如果a，b為定值，關于x的方程■=1+■，無論k為何值，它的根總是1，求a，b的值.

【分析】仔細讀題，轉換角度，考慮將方程轉換成關于k的方程.

【解答】把x=1代入方程，得■-■=1；化簡，得（2b-3）k=2-3a.

由于k可以取任何值，即關于k的方程有無數個解，于是得2b-3=0，2-3a=0.解得a=■，b=■.

【點評】若ax=b對于任何x的取值都成立，則必有a=0，b=0.

突破點4：與絕對值相關的問題探究

例4 若a，b，c為整數，且a-b19+c-a99=1，試計算c-a+a-b+b-c的值.

【分析】根據絕對值的定義和已知條件a，b，c為整數，且a-b19+c-a99=1確定a、b、c的取值及相互關系，進而在分情況討論的過程中確定c-a、a-b、b-c的值.

【解答】a，b，c均為整數，則a-b和c-a也應為整數，且a-b19與c-a99為兩個非負整數，和為1，所以只能是

a-b19=0且c-a99=1，①

或a-b19=1且c-a99=0.②

由①知a-b=0且c-a=1，所以a=b，于是b-c=a-c=c-a=1；由②知a-b=1且c-a=0，所以c=a，于是b-c=b-a=a-b=1. 無論①或②都有b-c=1且a-b+c-a=1，所以c-a+a-b+b-c=2.

【點評】根據絕對值的定義和已知條件確定a、b、c的取值及關系是解決本題的關鍵，同時要注意討論過程的全面性.

突破點5：列方程解應用題過程中等量關系的尋找

例5 （2003·湖北襄樊）一牛奶制品廠現有鮮奶9 t. 若將這批鮮奶制成酸奶銷售，每加工1 t鮮奶可獲利1 200元；若制成奶粉銷售，則每加工1 t鮮奶可獲利2 000元. 該廠的生產能力是：若專門生產酸奶，則每天可用去鮮奶3 t；若專門生產奶粉，則每天可用去鮮奶1 t. 由于受人員和設備的限制，酸奶和奶粉兩產品不可能同時生產，為保證產品的質量，這批鮮奶必須在4天內全部加工完畢. 假如你是廠長，你將如何設計生產方案，才能使工廠獲利最大？最大利潤是多少？

【分析】要確定哪種方案獲利最多，首先應求出每種方案各獲得的利潤，再比較即可.

【解答】生產方案設計如下：

（1） 將9 t鮮奶全部制成酸奶，則可獲利1 200×9=10 800（元）.

（2） 4天內全部生產奶粉，則有5 t鮮奶得不到加工而浪費，且利潤僅為2 000×4=8 000（元）.

（3） 4天中，用x天生產酸奶，用4-x天生產奶粉，并保證9 t鮮奶如期加工完畢.

由題意得，3x+（4-x）×1=9.

解得x=2.5.

∴4-x=1.5（天）.

故在4天中，用2.5天生產酸奶，用1.5天生產奶粉，則利潤為：2.5×3×1 200+1.5×1×2 000=12 000（元）.

答：按第三種方案組織生產能使工廠獲利最大，最大利潤是12 000元.

【點評】運用數學知識解決現代生產中的實際問題是中考的熱點之一，同學們應多留意生活中的規律，把數學與生活有機結合起來. 對于方案三的銷售金額計算，不能按“問什么設什么”的方法求解，如果設銷售金額為x元，則不易找到它與已知量的聯系，列方程將很困難. 列方程解應用題時，恰當地設未知數很重要.