深悟概念 巧妙解題

數學概念是數學的靈魂，也是同學們必須掌握的重要基礎知識之一. 在初中數學學習中，正確理解數學概念是掌握數學基礎知識的前提，是學好定理、公式、法則和理解數學思想的基礎，是提高解題能力的關鍵. 下面就本章所涉及的概念給大家梳理一下.

一、 錐體

1. 棱錐

棱錐：如果一個多面體的一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，那么這個多面體叫做棱錐（如圖1）.

棱：在棱錐中相鄰兩個面的交線叫做棱. （如圖1中的棱PA，棱AB）

棱錐的側面： 棱錐中除底面以外的各個面都叫做棱錐的側面. （如圖1中的面PAB）

棱錐的側棱：相鄰側面的公共邊叫做棱錐的側棱. （如圖1中PA、PB等都是棱錐的側棱）

棱錐的頂點：棱錐中各個側面的公共頂點叫做棱錐的頂點. （如圖1中P是各個側面的公共頂點，所以P是棱錐的頂點）

注：棱錐的側面都是三角形，并且它們有公共的頂點.

2. 圓錐

圓錐：以直角三角形（如Rt△PAO）的一條直角邊（PO）所在直線為旋轉軸，其余兩邊（PA、OA）旋轉所圍成的旋轉體叫做圓錐（如圖2）. 該直角邊（PO）所在直線叫圓錐的軸. 圓錐側面展開圖是一個扇形，只有下底為圓，所以從正上方（俯視圖）看是一個有圓心的圓，從側面看（主視圖、左視圖）都是等腰三角形.

圓錐的面：它的側面是曲面，底面是平面.

二、 柱體

1. 棱柱

棱柱的側面：它的側面是平面且都是平行四邊形，而直棱柱的側面都是長方形（如圖3）.

棱柱的底面：它的上、下底面是全等的多邊形.

棱柱的頂點：棱柱的棱與棱之間的交點叫做棱柱的頂點.（如圖3中點A，點B）

例1 正方體有_____條棱，_____個面，_____個頂點，這些面的形狀都是_____.

【分析】根據已學過的正方體的概念即可得到正確答案.

解：根據正方體的特征知，它有12條棱、6個面、8個頂點，這些面的形狀都是正方形.

【點撥】本題考查正方體的知識，較為簡單. 正方體是實際生活中很常見的幾何體，要注意掌握它的特性.

2. 圓柱

圓柱：以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱（如圖4）.

圓柱的面：側面是一個曲面，展開是一個矩形，上、下底面是平行且全等的圓. 所以從正上方看（俯視圖）是一個圓，從側面看（主視圖、左視圖）都是矩形.

三、 球體

半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉所成的曲面叫做球面. 球面所圍成的幾何體叫做球體，簡稱球. 球體是一個連續曲面的立體圖形.

例2 如圖5，將下列幾何體分類，錐體有_____，柱體有_____，球體有_____，由平面圍成的幾何體有_____，帶有曲面的幾何體有_____（填序號）.

【分析】幾何體可以按以下情況進行分類. ①按柱、錐、球進行分類；②按圍成這些幾何體的面有無曲面進行分類. 最后根據圖示即可進行解答.

解：柱體一般分為圓柱和棱柱，所以圖示所給的柱體有：（1）、（2）、（3）；錐體包括棱錐與圓錐，所以錐體有（5）；球體有（4）. 若是依據幾何體面的組成分類，都是平面圍成的幾何體有：（1）、（3）；帶有曲面的幾何體有：（2）、（4）、（5）.

【點撥】本題主要考查了幾何體的不同分類，幾何體一般分為柱體、錐體和球，或根據組成幾何體的面進行分類.

四、 三視圖的有關內容

1. 三視圖的概念

我們從不同的方向觀察某一物體時可能看到不同的圖形，其中，把從正面看到的圖形叫做主視圖，從左面看到的圖形叫做左視圖，從上面看到的圖形叫做俯視圖.

2. 三視圖的位置關系

以主視圖為準，左視圖在主視圖的右邊，俯視圖在主視圖的下面.

3. 三視圖之間的關系

物體一般有長、寬、高三個方向的尺寸. 如果把它的左右方向的長度稱為長，前后方向的長度稱為寬，上下方向的長度稱為高，那么主視圖將能反映出物體的長度和高度，左視圖能夠反映出物體的寬度和高度，而俯視圖則反映出了物體的長度和寬度. 綜上可歸納出：主、俯長相等，主、左高平齊，俯、左寬相等.

例3 如圖6是由五塊完全一樣的正方體搭成的積木，你能畫出這個圖形的主視圖、左視圖和俯視圖嗎？

【分析】我們只需畫出從正面、左面、上面看到的圖形即可. 從正面看由左往右共有2列，正方形的個數依次為3和1；從左面看由左往右共2列，正方形的個數依次為3和1；從上面看由左往右共2列，正方形的個數依次為2和1. 此時畫出平面圖形即可.

解： 如圖7.

【點撥】本題主要考查了同學們對三視圖概念的理解以及對三視圖的位置關系的掌握程度.

例4 圖8表示一個由相同小立方塊搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數字表示該位置上小立方塊的個數，則該幾何體的主視圖為（ ）.

【分析】俯視圖中的每個數字是該位置小立方體的個數，分析其中的數字，得主視圖共三列，從左到右的小立方體的個數分別是4、3、2.

解：選C.

【點撥】本題靈活考查了同學們對圖形的想象力、對三種視圖之間的關系以及視圖和實物之間的關系的理解程度.

例5 用小立方塊搭一個幾何體使得它的主視圖和俯視圖如圖9所示，這樣的幾何體只有一種嗎？它最少需要多少個小立方塊？最多需要多少個小立方塊？

【分析】由幾何體的俯視圖可知，該幾何體的最底層有7個小立方塊，由于主視圖的第一列有3個正方形，所以俯視圖第一列上每個正方形所在位置最多均可有3個小立方塊，最少只有1個正方形所在位置有3個小立方塊，其余2個正方形上只有1個小立方塊；主視圖的第二列有2個小正方形，所以俯視圖第二列每個小正方形所在位置上最多均可有2個小立方塊，最少只有1個正方形所在位置有2個小立方塊，其余2個正方形上都只有1個小立方塊；主視圖的第三列只有1個小正方形，它所在位置只能有1個小立方塊. 所以這樣的幾何體不止一種.

解：這樣的幾何體不止一種擺法. 最少需要3+1×2+2+1×2+1=10（個）小立方塊，最多需要3×3+2×3+1=16（個）小立方塊.

【點撥】本題考查的是由主視圖和俯視圖來判斷幾何體的構成.