錯題引領成功之路

《走進圖形世界》是同學們在初中階段學習的幾何知識的第一個章節，是小學階段學習的簡單基礎圖形知識的延伸. 本章的內容主要包括生活中常見的幾何體的形狀、展開與折疊、截面圖及三視圖. 本章內容在中考中占有一定的比重. 請看同學們在學習時的幾個易錯點.

一、 多面體表面展開圖問題

例1 如圖1（1）～（4），是一些立體圖形的平面展開圖，請說出它們的名稱.

錯解：圖1（1）是三棱錐；圖1（2）是四棱柱；圖1（3）是五棱柱；圖1（4）是六棱錐.

【點評】圓柱、圓錐、棱柱和棱錐的平面展開圖形狀必須記清楚. 圓柱的側面展開圖是個長方形，所以平面展開圖是1個長方形+2個圓. 圓錐的側面展開圖是個扇形，所以平面展開圖是1個扇形+1個圓. 棱柱的側面都是長方形，棱錐的側面都是三角形. 下面我們通過表格來分析一下棱柱和棱錐的平面展開圖.

通過上面的表格我們不難看出：

圖1（1）由3個長方形、2個三角形組成；圖1（2）由4個三角形、1個四邊形組成；圖1（3）由5個三角形、1個五邊形組成；圖1（4）由6CdKrIOuyfFq9gca1L6I9zIXaz01FevOOntCG0+mcnVU=個長方形、2個六邊形組成. 正確答案：圖1（1）三棱柱；圖1（2）四棱錐；圖1（3）五棱錐；圖1（4）六棱柱.

二、 利用展開圖解決實際問題

例2 如圖2（1）所示，長方體（ABB′A′為正方形）頂點A處有一只蜘蛛，長方體頂點C′處有一只蚊子，請你幫蜘蛛想個辦法，找出一條讓它沿著長方體表面爬行捉住蚊子的最短路徑.

【錯解】連接AC′，則線段AC′就是所求路徑.

【點評】這道題是求最短距離問題，在立體圖形表面上研究兩點之間的最短距離時，我們通常把立體圖形展開成為平面圖形，這樣可將立體圖形上兩點之間的距離轉化為平面內兩點之間的距離，在平面圖形上問題會變得簡單. 例如我們可以將點A和點C′所在面展開，再畫連接A、C′兩點的線段.

【答案】如圖2（2）中AC′是一條最短路徑.

三、 四棱柱對面問題

例3 有一個正方體，在它的各個面上分別標有字母a，b，c，d，e，f，如圖3（1）、圖3 （2）、圖3 （3），用三種不同的方法擺放這個正方體，看到了不同的結果，你能說出b的對面是什么字母嗎？

【錯解】b的對面是f.

【點評】這道題從三種不同的擺放情況不能直接找到b的對面. 我們可以先把a，d的對面字母找到，然后用“排除法”確定b的對面字母. 由圖3（1）、圖3（3）可知與面a相鄰的面是b，d，c，f，通過排除法可知a的對面是e. 由圖3（1）、圖3（2）可知與面d相鄰的面是a，b，c，e，通過排除法可知d的對面是f. 所以面a與面e相對，面d與面f相對，那么面b只能與面c相對.

【答案】面b的對面是c.

四、 小立方體最多最少問題

例4 用小立方體搭成一個幾何體，使它的主視圖和俯視圖如圖4所示，試指出搭建這樣的幾何體最多需要多少塊小立方體？最少需要多少塊小立方體？

【錯解】搭建這樣的幾何體最多有8塊小立方體，最少有6塊小立方體.

【錯因】對主視圖、俯視圖的概念模糊.

【點評】主視圖反映幾何體的上下層數和搭建的列數，俯視圖反映幾何體的前后行數和列數. 本題可以根據主視圖，在俯視圖的每個小正方形上標出它所在處可以擺放的小立方體的數目，再把這些數字按照要求相加，從而得到搭成幾何體需要的小立方體的個數. 通過觀察不難發現，主視圖從左到右第1列有3層，所以我們在俯視圖的第1列的2行都標上3，這是俯視圖的第1列小立方體最多的情況. 同樣的方法標出第2列和第3列小立方體最多的情況，如圖5（1）所示，然后把數字相加就得到搭建這樣的幾何體最多需要多少塊小立方體. 在解答最少有多少塊小立方體組成時，俯視圖的第1列的2行有1行標3，其他行標1，這就是第1列小立方體最少的情況. 同樣的方法標出第2列和第3列小立方體最少的情況，如圖5（2）、圖5（3）、圖5（4）所示. 這時可能出現的幾何體不止一種，在解題時要注意到這一點.

【答案】搭建這樣的幾何體最多需要11塊小立方體，最少需要8塊小立方體.

五、 利用三視圖求表面積問題

例5 有14個邊長為1 cm的小正方體擺成如圖6（1）所示的幾何體，現在想把這個幾何體的表面全部涂上紅色，問涂上紅色的總面積為多少.

【錯解】33 cm2.

【錯因】有的同學把最下層小正方體底面9個面的面積漏掉導致了錯誤.

【點評】把這個幾何體的表面都涂上紅色，也就是說從前、后、左、右、上、下看這個幾何體都要是紅色. 從前和后、左和右、上和下看這個幾何體的圖形分別相同，而從前、左、上看這個幾何體剛好就是這個幾何體的三視圖. 所以此題可以轉化成求三視圖的面積問題. 三視圖如圖6（2）所示，所以總面積即為三視圖的面積和乘2.

【答案】42 cm2.