在行程問題的學習中滲透數學建模的思想

生活是數學的發源地，我們都能在生活中找到數學蹤跡. 《數學課程標準》指出：“數學是人們生活、勞動和學習必不可少的工具. ”既然數學來源于生活，那么我們的數學學習就不應該只是單純的知識領悟，而應遵循源于生活、寓于生活的理念，通過題目體會到數學就在我們身邊，感受到數學的趣味和作用.

例1 某旅游團從賓館出發去風景點A參觀游覽，在A景點停留1小時后，又繞道去風景點B，再停留半小時后返回賓館. 去時的速度是5千米/時，回來的速度是4千米/時，來回（包括停留時間在內）共用去6.5小時，如果回來時因為繞道關系路程比去時多2千米，求去時的路程.

【分析】這個題目看起來比較麻煩，但是仔細觀察就會發現題目里要求的也只是一個未知數，即去時的路程，而題目的等量關系是：去的時間+回來的時間+停留的時間=共用的時間. 在這里“去的時間”是未知的，如果直接設去時的路程為x千米，那么回來時的路程就是（x+2）千米，去時路上所需時間是■小時，回來時路上所需時間是■小時. 根據題意，得■+■+1+■=6.5. 解方程，得x=10.

例2 有兩個矩形，第一個矩形的長、寬和第二個矩形的長、寬之比順次為5∶4∶3∶2，第一個矩形的周長比第二個矩形的周長長72厘米，求這兩個矩形的面積.

【分析】很明顯，如果采用直接設立未知數的方法，把這兩個矩形的面積設作未知數，那么方程是不容易列出來的. 注意到矩形的面積等于它的長乘寬，而長與寬的關系可以從題目中給出的條件找到，那么可以采用間接設立未知數的方法，先求出它的長與寬，然后再求它們的面積.

解法1：設第一個矩形的長為5x厘米，寬為4x厘米，第二個矩形的長為3x厘米，寬為2x厘米. 根據題意，得2（5x+4x）-2（3x+2x）=72.

解法2：設第一個矩形的長為x厘米，它的寬為■厘米，第二矩形的長為■厘米，寬為■厘米，根據題意，得2x+■-2■+■=72.

解法3：設第一個矩形的長為x厘米，它的寬為y厘米，第二個矩形的長為z厘米，寬為w厘米. 根據題意，得x∶y∶z∶w=5∶4∶3∶2，

2（x+y）-2（z+w）=72.

例3 某校舉行數學競賽選拔賽，淘汰總參賽人數的■，已知選拔分數線（選拔最低分數）比總人數的平均分少2分，比被選中學生的平均分數少11分，并且等于被淘c0jFGV/OxVy1NhLb8HeQdg==汰學生的平均分數的2倍，求選拔分數線為多少？

【分析】從題目中分析，此題的等量關系是：所有學生的總分數=被選拔學生的分數+被淘汰學生的分數，而要求各類分數，必須知道各類學生數. 因此在設選拔最低分數為x分的同時，設被淘汰的人數為m人，那么總人數為4m人，選中的學生數為3m人. 這里的m是一個輔助未知數，不必求出它的結果，一般在解題過程當中可消掉.

解：根據題意，得4m（x+2）=3m（x+11）+m■，解方程，得x=50.

答：選拔最低分數為50分.

例4 某商店有甲、乙兩種鋼筆共143支，甲種鋼筆每支6元，乙種鋼筆每支3.78元，某學校購了該商店的全部乙種鋼筆和部分甲種鋼筆，經過核算后，發現應付款的總數與甲種鋼筆的總數無關，問購買的甲種鋼筆是該商店甲種鋼筆總數的百分之幾？

【分析】在“買甲種鋼筆付款+買乙種鋼筆付款=總付款數”的等量關系中，涉及甲種鋼筆總數和付款總數，因此可以選擇它們作為輔助未知數.

解：設購買甲種鋼筆占甲種鋼筆總數的百分比為x，甲種鋼筆總數為m支，付款總數為T元，根據題意，得T=6xm+3.78（143-m）=（6x-3.78）m+3.78×143. 因為T與m無關，所以6x-3.78=0. 即x=0.63=63%.

答：購買的甲種鋼筆是該店甲種鋼筆總數的63%.

例5 張先生買了一只旅行水瓶，用去了身邊所帶錢數的一半加1元；接下來買了一大包食品，用去了剩余錢數的一半加2元；然后再買了一大瓶飲料，用去了剩余錢數的一半加3元；最后只剩1元錢. 請問張先生買的幾樣東西的價錢各是多少呢？

【分析】張先生買東西的過程都是和錢數有關系的，所以可以設張先生身邊所帶的錢數為x，則他第一次花的錢數是■x+1元，剩余錢數是■x-1元；第二次花的錢數是■x+■元，剩余錢數是■x-■元；第三次花的錢數是■x+■元，剩余的錢數是1元. 等量關系為“全部的錢數減去三次所花錢數就等于1元”.

解：設張先生身邊所帶錢數為x元，則根據題意得

x-■x+1-■x+■-■x+■=1，

x-■x-1-■x-■-■x-■=1，

■x=■，x=42.

∴■x+1=22（元），■x+■=12（元），

■x+■=7（元）.

答：張先生買的旅行水瓶的價格是22元，食品的價格是12元，飲料的價格是7元.

【點評】方程是解決問題的重要工具.在實際問題中，常常需要找到一個可以把其他的量聯系起來的中間量，從而列出方程. 如果不利用這個中間量，某些問題很難求解.