注重方法 滲透思想

初中階段是發展數學思維的重要時期，這一階段數學學習不僅是學知識，更是提高數學素養、領悟數學思想方法、鍛煉思維能力的關鍵時期. 數學思想方法是數學的精髓，只有掌握數學思想方法，才能更深刻地理解數學的本質，才能把所學數學知識與掌握的技能轉化為分析和解決問題的能力. 《走進圖形世界》這一章涉及的數學思想主要有：分類思想、類比思想、轉化思想.

一、 分類思想

分類思想是根據數學本質屬性的相同點和不同點，將數學研究對象分為不同種類的一種數學思想. 本章中對幾何體和平面圖形的分類都用到了分類思想. 在應用分類思想解題時，要注意分類必須按同一標準進行，而且要做到不重復、不遺漏.

1. 幾何體的分類

例1 請將圖1中的幾何體按相同的特征進行分類，并說明理由.

【分析】對事物進行分類先要確定分類的標準，我們常常把具有某些共性的事物作為一類.

解：按組成幾何體是平面還是曲面來分可分為三類：（3）、（4）、（5）、（6）、（8）為一類，組成它們的都是平面；（7）為一類，組成它的都是曲面；（1）、（2）為一類，組成它們的既有平面又有曲面. 按幾何體是柱體、錐體、球體劃分也分成三類：（1）、（3）、（4）、（5）、（6）、（8）為一類，它們都是柱體；（2）為一類，它是錐體；（7）為一類，它是球體. 按有無頂點可分為兩類：（1）、（7）為一類，它們沒有頂點；（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（8）為一類，它們都有頂點.

【點評】“分類”是一種重要的數學思想，對幾個幾何圖形進行分類時，首先要明確其形狀特征，特別是明確這些幾何體的相同點和不同點，然后選擇適合的分類標準進行分類. 此類題目一般答案不唯一，只要按照某種標準分類，且分類合理即可.

2. 正方體展開圖的分類

例2 一個正方體的紙盒，將它展開為平面圖形，有幾種可能？

【分析】運用分類的數學思想和簡單的枚舉法，將正方體平面展開圖的情況一一列舉出來.

解：所有可能的情況共11種，可分為三類：

第一類：中間四連方，兩側各一個（簡稱一四一型），共六種.

第二類：中間三連方，兩側各有一、二個（簡稱二三一型），共三種.

第三類：中間二連方，兩側各有二個（簡稱二二二型），只有一種.

第四類：兩排各三個（簡稱三三型），只有一種.

【點評】同一個多面體，按不同的方式展開可能得到不同的平面圖形，要充分發揮空間想象力，將平面圖形的所有可能情況一一列舉出來.

二、 類比思想

類比是依據兩個對象之間存在著某些相同或相似的屬性，推出它們存在其他相同或相似的屬性的思維方法. 本章中一些幾何特征的對比體現了類比的數學思想.

1. 幾何體展開圖的判斷

例3 圖2中的幾個圖形是一些常見幾何體的展開圖，你能正確說出這些幾何體的名字嗎？

【分析】一般地，在幾何體的展開圖中，由六個正方形組成的是正方體；只有兩個多邊形其余為長方形的為棱柱；只有一個多邊形，其余為三角形的為棱錐；兩個圓和一個長方形組成的為圓柱.

解：（1） 正方體；（2） 長方體；（3） 四棱錐；（4） 三棱柱；（5） 三棱錐；（6） 三棱柱；（7） 圓柱.

【點評】通過幾何特征的對比，可以迅速、準確地判斷一些常見幾何體的平面展開圖. 熟悉幾何體平面展開圖的特征是解題的關鍵.

三、 轉化思想

轉化是指將未知的、陌生的、復雜的問題通過演繹歸納轉化為已知的、熟悉的、簡單的問題，從而使問題順利解決的數學思想. 本章中一些幾何體的表面可以展開為平面圖形，一些平面圖形可以折疊成幾何體，點動成線、線動成面、面動成體，作一個幾何體的三視圖的過程充分體現了轉化的數學思想9T+lpNM9ZE6DrhYZWBiVtQ==.

1. 立體圖形表面展開問題

例4 如圖3，一只螞蟻要從正方體表面上E點爬到距離它最遠的C點，則怎么爬行可使得路線最短？畫圖加以說明.

【分析】螞蟻在正方體表面上. 從E點爬到距離它最遠的C點，路線很多，如EGC，EFBC，EADC……如何確定一條最短的路線？在平面上，兩點之間線段最短，怎樣使點E與點C在同一個平面內？此時我們可以把正方體展開（如圖4），連接E、C，線段EC就是最短的爬行路線.

解：如圖4，線段EC就是最短的爬行路線.

【點評】把立體圖形展開轉化為平面圖形是處理類似問題的重要方法，在平面圖形上問題會變得簡單易解.

2. 平面圖形轉化為立體圖形

例5 如圖5是一個正方體盒子的展開圖，原正方體中與“★”字所在的面相對的是哪一個面？

【分析】先把六個面通過折疊轉化為一個正方體，可發現“我”與“歡”相對，“喜”與“學”相對，“數”與“★”相對.

解：“★”與“數”相對.

【點評】由平面圖形轉化為立體圖形，主要考查同學們轉化過程中的空間想象力. 對于此類題目，為防止出錯，可以實際動手操作.

例6 下列說法中正確的有（ ）個.

（1） 直角三角形繞一條直角邊旋轉一周得到圓錐.（2） 等邊三角形繞一邊旋轉一周得到圓錐.（3） 矩形繞一條直角邊旋轉一周得到圓柱.（4） 等腰梯形繞一條底邊旋轉一周得到圓柱.（5） 直角梯形繞垂直于底邊的腰旋轉一周得到圓柱.（6） 圓繞直徑旋轉一周得到球體.

A. 1個 B. 2個

C. 3個 D. 5個

【分析】等邊三角形繞一邊旋轉一周得到的是兩個底面重合的圓錐，故（2）不正確；等腰梯形繞一條底邊旋轉一周得到上下各一個圓錐、中間一個圓柱，故（4）不正確；直角梯形繞垂直于底邊的腰旋轉一周得到圓臺，故（5）不正確.

解：選C.

【點評】應充分理解平面圖形經旋轉形成立體圖形這一轉化過程.

3. 幾何體與三視圖的相互轉換

例7 畫出圖6中由幾個正方體組成的幾何體的三視圖.

【分析】從正面看有三列，第一列2層，第二列1層，第三列1層；從左面看有兩列，第一列2層，第二列1層；從上面看有三列，第一列2排，第二列1排，第三列1排.

解：如圖7.

【點評】作正方體三視圖時要看列數、層數（排數），主視圖要從正面看有幾列，每列有幾層；左視圖要從左面看有幾列，每列有幾層；俯視圖要從上面看有幾列，每列有幾排.