地毯上的數學文化

如圖1，在高為2米、水平距離為3米、寬度為1米的樓梯的表面鋪地毯，已知地毯每平方米的售價為120元，問把樓梯表面全鋪上地毯，共需多少元？

【分析】首先要知道地毯的長度，方法一：把樓梯看成是可動的，這樣就可以展開它，地毯的長度就等于樓梯展開后的長度，我們把每一個臺階展開圖的長度相加，得出地毯長5米；方法二：利用平移的思想把每個臺階的橫向線段平移至下面，縱向線段平移至右側，你會發現它們恰好與水平線段及高重合，這樣很容易計算地毯的長為：3+2=5（米）. 地毯的面積為：5×1=5（平方米）. 方法三：如圖2，先畫出樓梯的主視圖、左視圖、俯視圖，這三個視圖中，俯視圖和左視圖能夠直觀地觀察到地毯，它們的面積之和即為地毯的面積. 俯視圖面積：3×1=3（平方米），左視圖面積：2×1=2（平方米）. 總面積為：3+2=5（平方米）. 所需地毯的面積和固定高度、寬度的樓梯所含的臺階個數有關嗎？綜合以上三種方法可知無關. 正確答案：共需5×120=600（元）.

【變式應用】一個七級的樓梯要鋪地毯，地毯每平方米30元.樓梯的水平距離是5.8米，高是2.6米，每層階梯寬2米，求要花多少錢.

解：（5.8+2.6）×2=16.8（平方米）.

16.8×30=504（元），即要花504元.

【點撥】題目中給的樓梯七級是個干擾條件，意在考察我們對于樓梯鋪地毯問題的解決方法是否靈活掌握.

【變式應用】樓梯的側面視圖如圖3所示，其中AB=5米，BC=3米，∠C=90°，樓梯的寬度為6米，因某種活動要求鋪設紅色地毯，則在AB段樓梯所鋪地毯的面積應為多少平方米？

【分析】要想知道地毯的長度就須知道樓梯的水平距離和高，題目中沒有給出水平距離，求出AC就是解決該問題的關鍵.

解：∵AB=5米，BC=3米，∠C=90°，

∴由勾股定理（八年級將學習）求出AC=4米，

∴地毯的面積為（4+3）×6=42（平方米）.

【總結】解決此類生活問題，要會用數學中的平移或三視圖思想將地毯的長度算出來，再計算地毯面積.關鍵點：地毯長度和樓梯的級數無關，僅由樓梯的水平距離和高度確定.