圖形類難點問題例析

例1 如圖1，是由幾個小正方體所搭成的幾何體的俯視圖，小正方形中的數字表示在該位置上小正方體的個數，請畫出相應幾何體的主視圖和左視圖.

【解析】主視圖的畫法：“看列，選最高層”. 第①列最高層是1層，就豎著畫1個正方形；第②列最高層是2層，就豎著畫2個正方形；第③列最高層是1層，就豎著畫1個正方形（如圖2）. 左視圖的畫法：“看行，選最高層”. 第（1）行最高層是2層，就豎著畫2個正方形；第（2）行最高層是2層，就豎著畫2個正方形（如圖3）.

變式 圖4是由棱長為1的正方體搭成的積木的三視圖，則積木中棱長為1的正方體的個數是多少？

【解析】此種類型的問題，可以由主視圖和左視圖的形狀入手，在俯視圖的各個位置標出小正方體的個數. 主視圖的第1列只有1個正方形，則在俯視圖的第1列兩個位置都只有1個正方體，即a=1，d=1；主視圖的第2列只有一個正方形，則在俯視圖的第2列的一個位置只有1個正方體，即b=1；主視圖的第3列有2個正方形，則在俯視圖的第3列兩個位置至少有一個位置有2個正方體；由左視圖的第1列有2個正方形，則d和e至少有1個為2，而d=1，所以e=2；左視圖的第2列有1個正方形，所以a、b、c應該都為1. 所以此積木中，每個位置的小正方體的個數為1+1+1+1+2=6，即小正方體的個數為6.

例2 小林根據如圖5所示的平面展開圖做了一個無蓋的正方體盒子，他想給盒子加上一個蓋子，所以要在原來的展開圖上加一個正方形，請你幫小林在圖中畫上一個正方形，并想一想，這個正方形有幾種可能的位置？

【解析】根據正方體的展開圖，當四個正方形連在一起時，需要上下兩側各有一個正方形，所以可以在圖中上方的四個位置添加一個正方形，即有四種位置（如圖6）.

例3 如圖7，有一腰長為5 cm、底邊長為4 cm的等腰三角形紙片，沿著底邊上的中線將紙片剪開，得到兩個全等的直角三角形紙片，用這兩個全等的直角三角形紙片拼成的平面圖形中有幾個不同的四邊形？

【解析】將剪開的兩個全等的直角三角形相等的兩邊拼接在一起，可以得到如圖8的四個四邊形. 其中，兩條斜邊拼接在一起的有兩個圖形，最后一個圖形容易被同學們忽略.

變式 把圖9中的直角三角形和直角梯形相等的邊拼合在一起，可以拼成幾個不同的平面圖形？

【解析】將邊長為2的邊拼到一起可得到等腰梯形、平行四邊形、有一個角是直角的四邊形、有一個角是直角的五邊形（如圖10）；將邊長為1的邊拼到一起可以得到一個三角形（如圖11）；將另外兩條相等的邊拼在一起可以得到正方形和有三個角是直角的五邊形（如圖12）.

例4 如圖13，一圓柱形的樹上A處有一只螳螂，它想偷襲停在它正下方B處的蜘蛛，為了防止被蜘蛛發現，螳螂必須快速繞樹一周才有可能偷襲成功，請你畫出螳螂偷襲的最短路線.

【解析】螳螂從A點到B點，爬行的路線一定要在圓柱的表面上. 我們知道，在平面上連結兩點的線段是最短的，那么就應該讓A點和B點在同一平面內. 因此我們可以把圓柱展開，再畫連接A、B兩點的線段. 如圖14，把圓柱的側面沿AB剪開，展成平面圖形——長方形，則長方形的對角線AB即為所求的最短路線.

例5 如圖15是一個上下底密封的紙盒的三視圖，請你根據圖中數據，計算這個密封紙盒的側面積為_____cm2.

【解析】由三視圖計算立體圖形的面積或體積時，要善于將三視圖轉化為立體圖形. 根據本題的三視圖可知這是一個正六棱柱盒子，它的側面是由6個面積相同的長方形組成，由三視圖可知盒子的高為12cm，紙盒的底面為正六邊形，它的對角線長為10 cm，三條對角線把正六邊形分成了六個相同的等邊三角形（如圖16）. 所以，正六邊形的底面邊長為5 cm，其側面積為6×5×12=360（cm2）.