在行程問題的學(xué)習(xí)中滲透數(shù)學(xué)建模的思想

生活是數(shù)學(xué)的發(fā)源地，我們都能在生活中找到數(shù)學(xué)蹤跡. 《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“數(shù)學(xué)是人們生活、勞動和學(xué)習(xí)必不可少的工具. ”既然數(shù)學(xué)來源于生活，那么我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就不應(yīng)該只是單純的知識領(lǐng)悟，而應(yīng)遵循源于生活、寓于生活的理念，通過題目體會到數(shù)學(xué)就在我們身邊，感受到數(shù)學(xué)的趣味和作用.

例1 某旅游團(tuán)從賓館出發(fā)去風(fēng)景點(diǎn)A參觀游覽，在A景點(diǎn)停留1小時(shí)后，又繞道去風(fēng)景點(diǎn)B，再停留半小時(shí)后返回賓館. 去時(shí)的速度是5千米/時(shí)，回來的速度是4千米/時(shí)，來回（包括停留時(shí)間在內(nèi)）共用去6.5小時(shí)，如果回來時(shí)因?yàn)槔@道關(guān)系路程比去時(shí)多2千米，求去時(shí)的路程.

【分析】這個(gè)題目看起來比較麻煩，但是仔細(xì)觀察就會發(fā)現(xiàn)題目里要求的也只是一個(gè)未知數(shù)，即去時(shí)的路程，而題目的等量關(guān)系是：去的時(shí)間+回來的時(shí)間+停留的時(shí)間=共用的時(shí)間. 在這里“去的時(shí)間”是未知的，如果直接設(shè)去時(shí)的路程為x千米，那么回來時(shí)的路程就是（x+2）千米，去時(shí)路上所需時(shí)間是■小時(shí)，回來時(shí)路上所需時(shí)間是■小時(shí). 根據(jù)題意，得■+■+1+■=6.5. 解方程，得x=10.

例2 有兩個(gè)矩形，第一個(gè)矩形的長、寬和第二個(gè)矩形的長、寬之比順次為5∶4∶3∶2，第一個(gè)矩形的周長比第二個(gè)矩形的周長長72厘米，求這兩個(gè)矩形的面積.

【分析】很明顯，如果采用直接設(shè)立未知數(shù)的方法，把這兩個(gè)矩形的面積設(shè)作未知數(shù)，那么方程是不容易列出來的. 注意到矩形的面積等于它的長乘寬，而長與寬的關(guān)系可以從題目中給出的條件找到，那么可以采用間接設(shè)立未知數(shù)的方法，先求出它的長與寬，然后再求它們的面積.

解法1：設(shè)第一個(gè)矩形的長為5x厘米，寬為4x厘米，第二個(gè)矩形的長為3x厘米，寬為2x厘米. 根據(jù)題意，得2（5x+4x）-2（3x+2x）=72.

解法2：設(shè)第一個(gè)矩形的長為x厘米，它的寬為■厘米，第二矩形的長為■厘米，寬為■厘米，根據(jù)題意，得2x+■-2■+■=72.

解法3：設(shè)第一個(gè)矩形的長為x厘米，它的寬為y厘米，第二個(gè)矩形的長為z厘米，寬為w厘米. 根據(jù)題意，得x∶y∶z∶w=5∶4∶3∶2，

2（x+y）-2（z+w）=72.

例3 某校舉行數(shù)學(xué)競賽選拔賽，淘汰總參賽人數(shù)的■，已知選拔分?jǐn)?shù)線（選拔最低分?jǐn)?shù)）比總?cè)藬?shù)的平均分少2分，比被選中學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)少11分，并且等于被淘c0jFGV/OxVy1NhLb8HeQdg==汰學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)的2倍，求選拔分?jǐn)?shù)線為多少？

【分析】從題目中分析，此題的等量關(guān)系是：所有學(xué)生的總分?jǐn)?shù)=被選拔學(xué)生的分?jǐn)?shù)+被淘汰學(xué)生的分?jǐn)?shù)，而要求各類分?jǐn)?shù)，必須知道各類學(xué)生數(shù). 因此在設(shè)選拔最低分?jǐn)?shù)為x分的同時(shí)，設(shè)被淘汰的人數(shù)為m人，那么總?cè)藬?shù)為4m人，選中的學(xué)生數(shù)為3m人. 這里的m是一個(gè)輔助未知數(shù)，不必求出它的結(jié)果，一般在解題過程當(dāng)中可消掉.

解：根據(jù)題意，得4m（x+2）=3m（x+11）+m■，解方程，得x=50.

答：選拔最低分?jǐn)?shù)為50分.

例4 某商店有甲、乙兩種鋼筆共143支，甲種鋼筆每支6元，乙種鋼筆每支3.78元，某學(xué)校購了該商店的全部乙種鋼筆和部分甲種鋼筆，經(jīng)過核算后，發(fā)現(xiàn)應(yīng)付款的總數(shù)與甲種鋼筆的總數(shù)無關(guān)，問購買的甲種鋼筆是該商店甲種鋼筆總數(shù)的百分之幾？

【分析】在“買甲種鋼筆付款+買乙種鋼筆付款=總付款數(shù)”的等量關(guān)系中，涉及甲種鋼筆總數(shù)和付款總數(shù)，因此可以選擇它們作為輔助未知數(shù).

解：設(shè)購買甲種鋼筆占甲種鋼筆總數(shù)的百分比為x，甲種鋼筆總數(shù)為m支，付款總數(shù)為T元，根據(jù)題意，得T=6xm+3.78（143-m）=（6x-3.78）m+3.78×143. 因?yàn)門與m無關(guān)，所以6x-3.78=0. 即x=0.63=63%.

答：購買的甲種鋼筆是該店甲種鋼筆總數(shù)的63%.

例5 張先生買了一只旅行水瓶，用去了身邊所帶錢數(shù)的一半加1元；接下來買了一大包食品，用去了剩余錢數(shù)的一半加2元；然后再買了一大瓶飲料，用去了剩余錢數(shù)的一半加3元；最后只剩1元錢. 請問張先生買的幾樣?xùn)|西的價(jià)錢各是多少呢？

【分析】張先生買東西的過程都是和錢數(shù)有關(guān)系的，所以可以設(shè)張先生身邊所帶的錢數(shù)為x，則他第一次花的錢數(shù)是■x+1元，剩余錢數(shù)是■x-1元；第二次花的錢數(shù)是■x+■元，剩余錢數(shù)是■x-■元；第三次花的錢數(shù)是■x+■元，剩余的錢數(shù)是1元. 等量關(guān)系為“全部的錢數(shù)減去三次所花錢數(shù)就等于1元”.

解：設(shè)張先生身邊所帶錢數(shù)為x元，則根據(jù)題意得

x-■x+1-■x+■-■x+■=1，

x-■x-1-■x-■-■x-■=1，

■x=■，x=42.

∴■x+1=22（元），■x+■=12（元），

■x+■=7（元）.

答：張先生買的旅行水瓶的價(jià)格是22元，食品的價(jià)格是12元，飲料的價(jià)格是7元.

【點(diǎn)評】方程是解決問題的重要工具.在實(shí)際問題中，常常需要找到一個(gè)可以把其他的量聯(lián)系起來的中間量，從而列出方程. 如果不利用這個(gè)中間量，某些問題很難求解.