列一元一次方程解應用題中的思想方法

眾所周知，數學思想是解題的靈魂，列一元一次方程解應用題也不例外，在列一元一次方程解應用題的過程中也蘊含著許多數學思想，如果能靈活運用，往往能更好地列出一元一次方程去輕松解答應用題. 現就列一元一次方程解應用題中常見的思想方法舉例說明.

一、 設k法

利用一元一次方程解應用題時經常會遇到有關比例問題，這時若能巧妙地設定未知單位量k，就能輕松地列出方程求解.

例1 一個三角形三條邊長的比是2∶4∶5，最長的邊比最短的邊長6厘米，求這個三角形的周長.

【分析】要求三角形的周長，若知道三邊即可，由于三角形三條邊長的比是2∶4∶5，可設這三條邊長分別為2k、4k、5k，這樣根據最長的邊比最短的邊長6厘米，即可列出方程求解.

解：因為三角形三條邊長的比是2∶4∶5，所以設這三條邊長分別為2k、4k、5k，則根據題意，得5k-2k=6. 解得k=2.

所以三角形的周長為2k+4k+5k=22厘米.

答：這個三角形的周長為22厘米.

二、 數形結合思想

數形結合思想是指在研究問題的過程中，由數思形、由形想數，把數與形結合起來解決問題的思想方法.

例2 如圖，是一塊在電腦屏幕上出現的矩形色塊圖，由6個顏色不同的正方形組成. 設中間最小的一個正方形邊長為1，則這個矩形色塊圖的面積為_______.

【分析】通過觀察圖形可以發現，除了邊長為1的正方形，其余5個正方形中，右下角的兩個大小相等，順時針方向上的正方形邊長依次增加1.

解：設右下角兩個邊長相等的正方形邊長為x，則順時針方向的其余三個正方形的邊長依次為x+1、x+2、x+3. 根據矩形的對邊相等，可得x+x+（x+1）=（x+2）+（x+3），解得x=4.

所以（x+2）+（x+3）=13，（x+2）+（x+1）=11，即13×11=143.

答：矩形的面積為143平方單位.

三、 整體思想

在研究應用問題時，若能將所要思考的問題看成一個整體，通盤考慮，則既便于列方程，又便于解方程.

例3 一個六位數左端的數字是1，如果把左端的數字1移到右端，那么所得新的六位數等于原數的3倍，求原來的六位數.

【分析】本題若逐個設出各位數字，則未知數過多，不易列出方程. 如果從整體思考，視后五位數為一個整體，則方便簡捷.

解：設原六位數為100 000+x，則根據題意，得10x+1=3（100 000+x），

解得x=42 857.

答：原六位數為142 857.

四、 分類思想

數學的思維是嚴密的，所以求解許多數學應用題時，為保證答案全面、完整，需要分情況解決，這有利于培養思維的縝密性.

例4 在一條直的長河中有甲、乙兩船，現同時由A地順流而下，乙船到B地時接到通知需立即返回到C地執行任務，甲船繼續順流航行. 已知甲、乙兩船在靜水中的速度都是每小時7.5千米，水流的速度是每小時2.5千米，A、C兩地間的距離為10千米，如果乙船由A地經B地再到達C地共用了4小時，問乙船從B地到達C地時，甲船離B地有多遠？

【分析】因為C地的位置不確定，它既可能在A、B兩地之間，也可能在A地的上游，所以應進行分類討論.

解：設乙船由B地航行到C地用了x個小時，那么甲、乙兩船由A地航行到B地都用了（4-x）小時. 下面分兩種情況：

1. 若C地在A、B兩地之間，則根據題意，得（4-x）（7.5+2.5）-x（7.5-2.5）=10.

解得x=2. 這時10×2=20（千米）.

2. 若C地在A地的上游，則根據題意，得x（7.5-2.5）-（4-x）（7.5+2.5）=10.

解得x=■. 這時10×■ = ■（千米）.

答：乙船從B地到達C地時，甲船離B地有20千米或■千米.

五、 逆向思維

數學中有些問題，如果按照題意敘述由后往前推算就顯得很簡單，這種解決問題的方法叫逆推法. 逆推法是解決數學問題的一種重要方法. 有些數學問題若按常規思維方法考慮非常困難，而用逆推法就十分簡便.

例5 李颯的媽媽買了幾瓶飲料. 第一天，他們全家喝了全部飲料的一半零半瓶；第二天，李颯招待來家中做客的同學，又喝了第一天剩下的飲料的一半零半瓶；第三天，李颯索性將第二天所剩的飲料的一半零半瓶喝了. 這三天，正好把媽媽買的全部飲料喝光，則李颯的媽媽買的飲料一共有多少瓶？

【分析】如果設媽媽買的飲料一共有x瓶，則第一天喝了■+■瓶，第二天喝了■x-■-■？搖+■瓶，第三天……這種做法很繁. 若能依據題意，反過來考慮，問題或許就簡單多了.

解：設第三天李颯喝飲料之前，還有x瓶飲料，則x-■+■=0，即■-■=0. 解得x=1. 這也是第二天喝飲料之后所剩的飲料瓶數.

設第二天喝飲料之前，還有y瓶飲料，則■-■=1. 解得y=3. 這也是第一天李颯全家喝飲料之后所剩的飲料瓶數.

再設李颯全家喝飲料之前，還有z瓶飲料，則■-■=3.

解得z=7. 這就是李颯全家喝飲料之前媽媽買的飲料瓶數.

答：李颯的媽媽買的飲料一共有7瓶.

下面一道題目供同學們自己練習：

甲、乙兩人分別從A、B兩地同時相向出發，在離B地6千米處相遇后又繼續前進，甲到B地，乙到A地后，都立即返回，又在離A地8千米處相遇，求A、B兩地間的距離.

參考答案

【分析】用常規方法解決本題具有一定難度，若把兩個運動過程一起處理，便可使問題迎刃而解.

解：第一次相遇，甲、乙兩人合走一個全程，對應乙走6千米；第二次相遇，甲、乙兩人合走了三個全程，故乙共走了18千米.設A、B兩地間的距離為x千米，第二次相遇時乙走了（x+8）千米，所以x+8=18，x=10.

答：A、B兩地間距離為10千米.