生活中的一元一次方程

數學來源于實踐，人們生活最基本的衣、食、住、行都含有數學元素. 隨著市場經濟的逐步完善，生活中的科學化、經濟活動中的最優化都需要人們運用數學知識、思想和方法. 一元一次方程雖說是最簡單的方程，卻是刻畫和研究現實世界數量關系的有效模型. 下面采擷幾例衣、食、住、行等方面的應用題，與同學們共同賞析.

一、 “衣”

例1 某服裝店一天內銷售兩種服裝，甲種服裝共賣得1 560元，為了構建和諧社會，乙種服裝送到鄉下共賣得1 350元，若按甲、乙兩種服裝的成本分別計算，甲種服裝盈利25%，乙種服裝虧本10%，試問該服裝店這一天共盈利（或虧本）多少元？

解：設這一天內銷售的甲種服裝成本為x元，乙種服裝成本為y元，則有

x+25%x=1 560，① 解①得x=1 248.

y-10%y=1 350，② 解②得y=1 500.

∴銷售額-兩種成本=（1 560+1 350）-（1 248+1 500）=162（元）.

答：該服裝店這一天盈利162元.

二、 “食”

例2 一批食品，如果年初售出，可獲利1萬元. 如果年末售出，可獲利2.3萬元，但需付倉儲保管費1 000元. 同時年初售出后可以將本利一起用入周轉，抵減銀行貸款，銀行貸款年利率為24%，問這批食品是年初還是年末售出為好？

解：設這批食品的成本為a元，若年初售出后抵減銀行貸款，則利潤和少付利息為：

（a+10 000）·24%+10 000.

所以有23 000-1 000-[（a+10 000）·24%+10 000]=0.24（40 000-a）.

當成本費大于40 000元時，年初售出最好；當成本費等于40 000元時，年初年末售出均可；當成本費小于40 000元時，年末售出最好.

三、 “住”

例3 某房地產開發商對購房者可提供分期付款服務：首期付款3.2萬元，以后每月付1 000元，陳先生想用分期付款形式購買一套價值28萬元的住房，他需要多長時間才能付清全部房款？

【分析】設x個月付清全部房款. 根據題意可有下面的等量關系：首期付款+以后每月付款和=28萬元.

解：設x個月付清全部房款. 根據題意3.2+0.1x=28.解得x=248，即20年零8個月付清全部房款.

【點評】列一元一次方程解決實際問題，關鍵是找出包含問題全部條件的等量關系，然后列出方程. 解出方程后，經過檢驗，就可得到實際問題的答案. 另外在列方程時，要注意單位的統一.

四、 “行”

例4 甲乙兩人騎自行車，同時從相距65千米的兩地相向而行，甲的速度為17.5千米/小時，乙的速度為15千米/小時，經過幾個小時甲乙兩人相距32.5千米.

【分析】本題容易漏解. 應分兩種情況討論.

解：設經過x小時兩人相距32.5千米.

（1） 相遇前兩人相距32.5千米時，方程為17.5x+15x=65-32.5；

（2） 相遇后兩人相距32.5千米時，方程為17.5x+15x=65+32.5.

試一試：

1. 某校組織師生春游，如果單獨租用45座客車若干輛，剛好坐滿；如果單獨租用60座客車，可少租1輛，且余30個空座位.

（1） 求該校參加春游的人數；

（2） 已知45座客車的租金為每輛250元，60座客車的租金為每輛300元，這次春游同時租用這兩種客車，其中60座客車比45座客車多租1輛，所以租金比單獨租用一種客車要節省，按這種方案需租金多少元？

2. 某校校長暑假將帶領該校市級“三好學生”去北京旅游. 甲旅行社說：“如果校長買全票一張，則其余學生可享受半價優待.”乙旅行社說：“包括校長在內全部按全票價的6折收費.”若全票價為240元.

（1） 設學生數為x，甲旅行社收費為y甲，乙旅行社收費為y乙，分別計算兩家旅行社的收費（建立表達式）.

（2） 當學生數是多少時，兩家旅行社的收費一樣？

（3） 就學生數x，討論哪家旅行社更優惠.

3. 某食品原價a元，提價10%后銷路不好，只好又降價10%，此時售價為b元，則a、b的大小關系為（ ）.

A. a>b B. a=b

C. a

4. 陳華以8折的優惠價錢買了一雙鞋子，節省了20元，那么他買鞋子時實際用了（ ）.

A. 60元 B. 80元

C. 100元 D. 150元

5. 一商店把某種品牌的羊毛衫按標價的八折出售，仍可獲利20%，若該品牌的羊毛衫的進價每件是100元，則標價是每件_______元.

6. 某家具的標價為132元，若降價以9折出售（即優惠10%），仍可獲利10%（相對進貨價），則該家具的進貨價是（ ）.

A. 108元 B. 105元

C. 106元 D. 118元

7. 某商店經銷一種商品，由于進價降低了6. 4%，使得利潤提高了8%，那么原來經銷這種商品的利潤率是（ ）%.

8. 某人以八折的優惠價買一套服裝省了25元，那么買這套服裝實際用了（ ）.

A. 25元 B. 60元

C. 125元 D. 100元