縱向挖掘 橫向延伸

我們在小學階段已經認識了長方體、正方體、圓柱和圓錐，并且會求它們的表面積與體積. 這些幾何體還蘊含著很多的數學知識，《豐富的圖形世界》一章中我們將主要學習生活中常見的幾何體的形狀、展開與折疊、截面圖及三視圖等知識. 本章內容在中考中占有一定的比重，同學們應予以重視.

一、 幾何體的分類

例1 如圖1，將下列幾何體分類，并說出分類的依據.

【分析】分類時要確定分類的標準，并做到不重不漏. 分類的標準不同，結果也不同.

解：按柱、錐、球劃分. 柱體：（1）、（3）、（4）、（5）、（7） ；錐體：（2）；球體：（6）.

按組成面是曲面或平面劃分. 全由曲面組成：（6）；全由平面組成：（3）、（4）、（5）、（7）；既有曲面又有平面：（1）、（2）.

按有無頂點劃分. 有頂點：（2）、（3）、（4）、（5）、（7）；無頂點：（1）、（6）.

【點撥】此題意在發散思維，培養大家靈活多變、一題多解的能力. 此題還采用了分類的數學思想，同學們要掌握每一類幾何體的特征，找出共性，選取不同的分類標準將得到不同的組合，注意同一問題中分類標準要一致.

二、 平面與幾何體的截面

例2 用一個平面去切正方體，會得到哪些截面圖形？

【分析】在初次解這類題時，可用橡皮泥制作一個正方體，用小刀動手切切看，再作答.

解：能截出四種截面圖形：三角形、四邊形、五邊形、六邊形. 具體圖形見圖2.

【點撥】“化空為實”，把復雜空間問題轉化為眼手能及的實驗操作. 注意考慮問題要全面，不要遺漏. 明確用平面去截幾何體，所得的截面是這個平面與幾何體每個面相交的線所圍成的圖形. 按邊的順序逐個截出多邊形. 因為正方體只有六個面，所以得到的截面最多只有六條邊，即最多為六邊形.

三、 幾何體的展開與折疊

例3 如圖3，是一些幾何體的平面展開圖，試說出這些幾何體的名稱.

【分析】根據幾何體展開圖的形狀，聯想圍成的立體圖形，通過綜合比較，想象出立體圖形. 也可用折疊的方法將展開圖還原，再判斷其名稱.

解：（1） 圓柱 （2） 六棱柱 （3） 四棱錐 （4） 圓錐 （5） 三棱柱 （6） 五棱錐

【點撥】動手操作是解決此類問題的最佳手段，通過實際操作，逐步培養空間想象能力. 正確判斷一個幾何體的表面展開圖，除了要掌握常見幾何體的特征，還要多觀察、多動手、多動腦.

四、 利用展開圖解決實際問題

例4 如圖4（1），一只螞蟻從圓柱上的點A繞圓柱一周，爬到點B，你能畫出它爬行的最短路線嗎？

【分析】在平面上，兩點之間線段最短，如何畫出圓柱上表示點A繞圓柱一周到點B的最短路線呢？只需將點A、點B轉化到同一平面內即可解決問題了. 將立體圖形展開成平面圖形，連接AB′. 如圖4（2）.

解：沿圓柱上的線段AB剪開得到一個長方形，點B與點B′是圓柱上的同一點，連接AB′. 線段AB′為螞蟻爬行的最短路線.

【點撥】在研究立體圖形表面上兩點之間的最短路線（距離）問題時，往往是先把立體圖形展開成平面圖形，再根據“平面內兩點之間線段最短”的性質解決. 在平面圖形上問題會變得簡單，解決此類題的關鍵是明確有關圖形展開前后的對應關系.

五、 判斷幾何體的相對面

例5 圖5是一個幾何體的展開圖，每個面內都標注了字母，請回答下列問題：

（1） 如果面A在幾何體的底部，那么哪一個面在頂部？

（2） 如果面F在前面，從左面看是面B，那么哪一個面會在頂部？

（3） 從右面看是面C，面D在后面，那么哪一個面會在頂部？

【分析】這是一個長方體展開圖，共6個面，根據所處的面可知，面A和面F相對，面C和面E相對，面B和面D相對. 在（1）中，面A在底部，面F在頂部；在（2）中，面F在前面，面B在左面，那么面A在后面，面D在右面，面E在底部，面C在頂部；在（3）中，面C在右面，面E在左面，面D在后面，面B在前面，面F在底部，面A在頂部.

解：（1） 面F （2） 面C （3） 面A

【點撥】此題考查了同學們對立體圖形與它的平面展開圖之間的關系的掌握程度. 解答時，注意尋找各面之間的內在聯系，并加以想象、推理后得出結論.

六、 根據俯視圖中正方體的數字確定另外兩個視圖

例6 如圖6，是由幾塊完全相同的小正方體搭成的立體圖形的俯視圖，小正方形中的數字表示該位置的小正方體的個數. 請你畫出它的主視圖和左視圖.

【分析】方法一：實際操作，先按條件擺出幾何體，畫出它的主視圖和左視圖.

方法二：俯視圖中分左中右三列，從左到右每列中最大的數分別為2、1、4，因此對應的主視圖共有三列，第一列畫2個正方形，第二列畫1個正方形，第三列畫4個正方形. 俯視圖中分上中下三行，從上到下每行中最大的數分別為1、2、4，因此對應的左視圖共有三列，第一列畫1個正方形，第二列畫2個正方形，第三列畫4個正方形.

解：如圖7.

【點撥】由俯視圖確定主視圖、左視圖的列數及每列方塊的個數，細心觀察可得如下規律：

①主視圖和俯視圖的列數相同，且每列的方塊數是俯視圖中該列的最大數字. ②左視圖的列數與俯視圖的行數相同，且每列的方塊數是俯視圖中該行的最大數字.