包裝紙箱中的數學問題

某種產品的形狀是長方體，它的長、寬、高分別是16 cm、6 cm、3 cm. 請為廠家設計一種包裝紙箱，使每箱能裝30件這種產品，且該紙箱所用材料盡可能少.

【分析】（1） 先從含2塊小長方體的包裝紙箱考慮：

從表格中可以看出，方案1的表面積最小（所用材料最少）.

觀察圖4至圖6，可以發現：如果相同小立方塊的數量一定，當其重疊部分面積較大時，包裝紙箱的表面積較小.

觀察上面的表格，可以得出結論：在包裝紙箱外觀尺寸中，當長、寬、高的和較小時，包裝紙箱的表面積較小.

（2） 再考慮含10塊小長方體的包裝紙箱的情形.

小長方體分別擺放為1層（方案4到方案7）、2層（方案8到方案9）、5層（方案10到方案11）、10層（方案12）. 當小長方體分別擺放為1、2、5層時，包裝紙箱長與寬越接近，表面積越小. 因為16>6，也可以說橫向擺放多于縱向擺放時包裝紙箱的表面積較小（即16乘以較小的數，6乘以較大的數）.包裝紙箱的長、寬、高是由小長方體的塊數和擺放方式確定的. 于是將小長方體的塊數10因數分解：10=1×1×10=1×2×5. 顯然這三個因數可以分別與16、6、3相乘，作為包裝紙箱的長、寬、高. 但因為16>6>3，所以在乘因數時，按照從小到大的順序來確定. 當按方案8和12擺放時，得出的包裝紙箱的長寬高的和最小，故此時包裝紙箱的表面積最小（用料最少）. 即在包裝紙箱外觀尺寸中，當長、寬、高的和較小時，包裝紙箱的表面積較小.

（3） 由以上兩種情形得出的經驗來解決30塊小長方體塊包裝的問題.

首先30=1×1×30=1×2×15=1×3×10=1×5×6=2×3×5.

其次對包裝紙箱的長、寬、高求和：（Ⅰ）16×1+6×1+3×30=112，（Ⅱ）16×1+6×2+3×15=73，（Ⅲ）16×1+6×3+3×10=64，（Ⅳ）16×1+6×5+3×6=64，（Ⅴ）16×2+6×3+3×5=65.

因為64最小，所以包裝紙箱的長、寬、高分別為16、18、30時用料最少，只是Ⅲ、Ⅳ兩情況下小長方體的擺放方式不同.

【變式應用】（1） ①市場上有某種型號的肥皂，可看作是長、寬、高分別是16 cm、6 cm、3 cm的長方體，請你為肥皂設計一個包裝盒.②繼續思考：如果有30塊這樣的肥皂，請你設計一種包裝紙箱，要求該紙箱所用的材料盡可能少.

（2） 有10盒長12 cm、寬8 cm、高3 cm的長方體錄音磁帶，要將他們包裝在一起，要多大的包裝紙？怎么樣包裝最節省包裝紙？（包裝紙的重疊部分不計）

【分析】（1） ①長方體的三視圖都是長方形，只需計算出每個視圖的面積再乘以2即可，這與長方體的表面積公式是吻合的，在不計接口和損耗的理想狀態下，包裝紙的面積應為：（16×6+16×3+6×3）×2=324（cm2）.

②利用上題的結論可知包裝紙箱同一頂點三條棱分別為16 cm、18 cm、30 cm時表面積最小，此時表面積為（16×18+16×30+18×30）×2=2 616（cm2），只是肥皂的擺放方式有兩種：其一讓紙箱16×18作底，橫向排3塊再向上擺10層；其二讓紙箱16×30作底，橫向排5塊再向上擺6層.

（2） ∵10=1×1×10=1×2×5，∴包裝后的長方體的同一頂點三條棱分別為12 cm、8 cm、3×10 cm或同一頂點三條棱分別為12 cm、8×2 cm、3×5 cm時表面積較小，又∵12+8+3×10=50，12+8×2+3×5=43，而50>43，故橫向排2個，再向上擺5層時包裝最節省包裝紙. 此時用紙為（12×16+12×15+16×15）×2=1 224（cm2）.

【總結】此類生活問題的解決需理論聯系實際，運用發現規律、應用規律、以簡代繁的思想方法，同時考查了分類思想以及思維的縝密性.

數學與生活的聯系可以用密不可分來形容，“源于生活，服務于生活”才是數學學習的最終目的和最高境界！