路在腳下，法由“線”定

應用題是初中數學的一個重要部分，也是難點所在. 列方程解應用題一般步驟為：（1） 審題：理解題意，弄清題目中的數量關系，找出其中的相等關系；（2） 設未知數：用字母表示題目中的未知數，并用這個字母和已知數一起組成表示各數量關系的代數式；（3） 列方程；（4） 解方程；（5） 答：檢查所求的解是否使方程成立，是否使實際問題有意義，寫出答案.

列方程解應用題時，應根據題意靈活設未知數. 一般情況用直接設元法設出未知數，但有時為了解題的方便，采取間接設元法；要注意檢驗方程的解是否符合實際情況，對于不符合題意的解，一定要寫明舍去的理由；還要注意答案的書寫要明確完整，不能過于簡單或省略不寫.

現在就常見的行程問題與大家一起探討.

1. 基本量是：路程、速度和時間.

2. 基本關系是：

①路程= 速度×時間；

②時間=■；

③速度=■.

3. 基本類型：相遇問題；相背問題；追及問題；行船（風速）問題；環形跑道問題.

4. 解此類題的關鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關系或所走的路程關系，常常借助畫線段圖進行分析，理解行程問題.

5. 行船（風速）問題是行程問題中的一種特殊情況，其速度在不同的條件下會發生變化：

①順水（風）速度=靜水（無風）速度+水流速度（風速）；

②逆水（風）速度=靜水（無風）速度-水流速度（風速）.

下面就讓我們一起進入行程問題的世界：

例1 A、B兩地相距1 260千米，慢車以50千米/小時的速度從A地出發，同時一列快車以70千米/小時的速度從B地出發相向而行，當兩車相距60千米時，兩車行駛了（ ）.

A. 9.5小時 B. 10小時

C. 11小時 D. 10小時或11小時

【分析】題中兩車相距60 km，沒有說明是在兩車相遇前相距60 km，還是在兩車相遇后背向行駛時相距60 km，所以此題有兩種情況. 可以借助線段圖理清情況，并列出方程解答.

解：設當兩車相距60 km時，兩車行駛的時間為x小時，1 260-60=50x+70x或1 260+60=50x+70x.

得到兩種情況的結果分別是10小時和11小時，答案選擇D.

例2 如圖所示， 兩人沿著邊長為90 m的正方形， 按A→B→C→D→A……的方向行走. 甲從A點以65 m/min的速度、乙從B點以74 m/min的速度行走， 當乙第一次追上甲時， 將在正方形的______邊上.

【分析】此題類似于環形跑道問題，也是一個追及問題. 要充分把握好兩者出發時的相距路程以及追及過程中路程與時間的關系. 雖說是環正方形的行程問題，但我們也可以在線段圖中體現出等量關系. 值得注意的是，本題不適合直接設元，應間接設乙從出發到追上甲所用的時間為x min . 求出時間后再解決問題.

解：設當乙從出發到追上甲所用時間為x min，74x-65x=270，x=30，30×74÷360=■，相當于乙走了6圈多60 m，從解答可知當乙第一次追上甲時，將在正方形的BC邊上.

例3 汽車以72千米/時的速度在公路上行駛，開向寂靜的山谷，駕駛員撳一下喇叭，4秒后聽到回響，這時汽車離山谷多遠？已知空氣中聲音的傳播速度約為340米/秒. 設聽到回響時，汽車離山谷x米，根據題意，列出方程為（ ）.

A. 2x+4×20=4×340

B. 2x-4×72=4×340

C. 2x+4×72=4×340

D. 2x-4×20=4×340

【分析】此題相當于是一個相遇問題，撳喇叭后汽車還在向前行駛，而聲音的速度快，聲音到達山谷后又“回來”與汽車“相遇”. 可以從線段圖中這樣理解，在4 s的時間內，聲音“所走的路程”與汽車行駛的路程總和等于汽車撳喇叭時離山谷的距離的二倍. 但這里也有要注意的地方：第一，問題中的x米是聽到回響時汽車離山谷的路程；第二，條件中兩個單位不統一，要化為一致后才能列方程.

72千米/時=20米/秒

解：設聽到回響時，汽車離山谷x米.

2x=4×340-4×20.

通過比較可以得到答案應該選擇A.

例4 張老師騎摩托車的速度為每小時45千米，學生步行的速度是每小時5千米，學校與車站相距15千米. 如果2名學生要在55分鐘內從學校到車站，請張老師用摩托車送，但摩托車后座只能坐一人，學生不能駕車，請你設計一個方案（學生只能步行或乘摩托車，上下摩托車的時間不計），使2名學生能在55分鐘內全部到達車站，并用方程的有關知識說明理由. （如果方案能使2名學生在規定時間內全部到達車站，時間少于47分鐘可得7分，時間在47～55分鐘的可得5分. ）

你的方案是：_____________________

理由及解答：_____________________

【分析】完成這題時，可能有同學會覺得應該把第一名同學送到車站后再去接第二名同學，但這樣做的時間是不符合要求的；也有同學會想到把第一名同學送到中途再去接第二名同學，但估計在計算時會遇到困難. 我們可以這樣考慮：一人先步行，一人乘車，然后乘車的人中途下車，車回來接步行的人，最后二人一同到達車站. 完成本題的關鍵在于，要使二人同時到達車站，則二人步行的距離相同，乘車的距離也相同.

可以設張老師將第一名學生送到距離學校x千米的地方返回，接另外一位步行的學生，張老師帶后來的學生與先送的學生同時到車站.

解：設張老師將第一名學生送到距離學校x千米的地方返回，接另外一位步行的學生，張老師帶后來的學生與先送的學生同時到車站. 張老師從開始到接到第二名同學的時間與第二名同學步行的時間是一樣的，這樣就可以列出方程了.

■=■，x=12.5.

所以兩名同學同時到達車站的時間為：■+■=■（小時），相當于46分鐘40秒.

通過以上幾道例題的講解，我們能夠看出解行程問題的主要方法就是畫出線段圖，分析其中的等量關系，如果同學們在解應用問題時都能找到合適的方法梳理出等量關系，應用問題就會迎刃而解.