砌方塊與方塊涂色

小珊喜歡用圖中的小正方體砌成不同大小的方塊：

她有大量這種小正方體. 她會用膠水將小正方體粘在一起，砌成方塊. 首先，她用八塊小正方體砌成方塊，如圖1，然后，再砌成圖2和圖3的實(shí)心方塊.

【問題 1】所需積木的個(gè)數(shù)

小珊要用多少塊小正方體才可砌出圖2和圖3的方塊？

若小正方體的棱長為1，則砌出一個(gè)棱長為n的方塊需要小正方體多少塊？

【分析】這是一道較簡單的規(guī)律探究題，圖2共有三層，從上面看一層有3×3塊，共有三排，所以共有3×3×3=27（塊），同樣的方法可以得出圖3共有4×4×4=64（塊），那么棱長為n的方塊需要小正方體的個(gè)數(shù)為n×n×n=n3（塊）.

【問題 2】實(shí)際操作

小珊在砌圖2的方塊時(shí)，發(fā)現(xiàn)可以砌出一個(gè)像圖2，但里面是空心的方塊. 請你思考她最少要用多少塊小正方體？砌出一個(gè)看起來像是圖3但卻是空心的方塊需要多少塊小正方體？棱長為n的呢？你有什么發(fā)現(xiàn)？

【分析】這道題目需要我們發(fā)揮空間想象能力. 要砌出一個(gè)空心的圖2，我們就要清楚圖2的中心有幾塊小正方體，通過想象把大方塊從上、下、左、右、前、后切開最外層，最后剩下1塊，所以空心圖2需要27-1=26（塊）. 同樣道理處于圖3的中心有8塊小正方體，所以空心圖3需要64-8=56（塊）. 再接下來中心有27（塊），因此我們可以推測出棱長為n的空心方塊需要小正方體[n3-（n-2）3]塊.

【問題3】涂色問題

把圖2和圖3都涂上紅色，那么請你觀察一面涂成紅色的小正方體有多少個(gè)？

【分析】對于圖2：①它有8個(gè)頂點(diǎn)，在頂點(diǎn)處三面都涂有顏色，所以三面涂色的有8個(gè)；②正方體有12條棱，在每條棱上有1個(gè)二面涂色的，所以二面涂色的共1×12=12個(gè)；③正方體有6個(gè)面，每個(gè)面上一面涂色的有1個(gè)，所以一面涂色的共1×6=6（個(gè)）；④沒有涂色就是最中間的1個(gè).

同樣的方法對于圖3：①它有8個(gè)頂點(diǎn)，在頂點(diǎn)處三面都涂有顏色，所以三面涂色的有8個(gè)；②正方體有12條棱，在每條棱上有2個(gè)二面涂色的，所以二面涂色的共2×12=24個(gè)；③正方體有6個(gè)面，每個(gè)面上一面涂色的有4個(gè)，所以一面涂色的共4×6=24個(gè)；④沒有涂色就是最中間的8個(gè).

總結(jié)：對于拼成的棱長為n的正方體，涂色的只有三個(gè)面、兩個(gè)面、一個(gè)面、沒有涂色四種情況.

①一面涂色的小正方體有：（n-2）×（n-2）×6個(gè)；

②二面涂色的小正方體有：（n-2）×12個(gè)；

③三面涂色的小正方體有：8個(gè)（8個(gè)頂點(diǎn)處的正方體）；

④沒有涂色的小正方體有：（n-2）3個(gè).