“數”“形”結合妙處多

數學是一門研究“數”與“形”的學科，“數”與“形”有著密切的聯系.我們常常用代數的方法去處理幾何問題，也經常借助于幾何圖形來解決代數問題，這種“數”與“形”之間的相互應用是一種重要的數學思想方法——數形結合.它可以把原來抽象的“數”借助直觀的“形”來闡明中間的復雜關系，即“以形助數”；也可以把原來變化莫測的“形”用“數”來說明其中的內在規律.這樣可以幫助我們將抽象問題直觀化，復雜問題簡單化，從而達到優化解題途徑的目的.下面我們就一起見證“數”“形”結合的妙處吧！

一、以“形”助“數”，數形結合

由于“數”和“形”是一種對應，有些數量比較抽象，我們難以把握，而“形”具有形象、直觀的優點，能從復雜的數量關系中凸顯最本質的特征，因此我們可以把“數”的對應——“形”找出來，利用圖形來解決問題.

例1 A、B兩點在數軸上，點A對應的數是2.若線段AB的長為3，則點B對應的數是 .

【分析】如果從“數”的角度思考，往往會漏解.由于數軸上的點與有理數有對應關系，不妨從“形”的角度分析，畫出數軸并在數軸上找到點A的位置，根據線段AB的長度為3以及數軸可知，點B可以在點A的左邊也可以在點A的右邊，從而確定點B 對應的數.

【解答】由數軸（如圖1所示）分析可知：點B對應的數是-1或5.

【說明】此題中巧妙地利用數形結合，將抽象的數的問題變為直觀化的形的問題，為我們的解題提供了方便.

例2 y+1+y-2+y-3的最小值是 .（競賽題）

【分析】顯然此題我們若從“數”的角度考慮，則需要分類討論，比較繁瑣，因此我們不妨換一個角度，從“形”的方面來研究，讓點A、B、C對應數軸表示的數-1、2、3，D點為數軸上的任意一點，它對應的數為y（如圖2），要使得y+1+y-2+y-3的值最小，就是要使AD+DC+DB的值最小.為此，首先必須使得AD+DB的值盡可能地小.點D在線段AB上（包括端點），此時有AD+DB=AB=4，這樣問題就轉化為求AB+CD的最小值，所以當D與C重合時，AB+CD的值最小，即y=2時，y+1+y-2+y-3的值最小，最小值為4.

【解答】當y=2時，y+1+y-2+y-3的值最小，最小值為4.

【說明】絕對值的求和問題，常利用數形結合思想轉化為數軸（直線）上的線段求和問題，解決起來顯然要比從“數”的角度解決簡單.

二、以“數”解“形”，數形結合

雖然形有形象、直觀的優點，但在定量方面還必須借助代數的計算，特別是對于較復雜 的“形”，不但要正確地把圖形數字化，而且還要留心觀察圖形的特點，發掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質或幾何意義，把“形”正確表示成“數”的形式，進行分析計算.

例3 有理數a、b在數軸上的位置如圖3所示，則下列結論正確的是（ ）.

A.a+b>0 B.a-b>0

C.a·b>0 D.■>0

【分析】由數軸上表示有理數a、b的點的位置可知：a<0，b>0且a0，a-b<0，a·b<0，■<0.

【解答】選A.

【說明】顯然本題需要根據數軸上點的位置挖掘隱含的條件，從“數”的角度去看“形”，通過數形結合巧妙地解決問題.

例4 有理數a、b、c在數軸上的位置如圖4所示，試化簡a+c-a+b+c-b-a+b+c.

【分析】根據絕對值的性質我們知道，要想化簡絕對值就必須先判定a+c、a+b+c、b-a、b+c的正負，然后求絕對值，合并.顯然根據數軸與有理數之間的對應關系，可以很清楚地判斷a、b、c的正負情況以及它們的絕對值的大小情況，從而根據有理數的加法以及減法法則進一步判定a+c、a+b+c、b-a、b+c的正負，從而再根據絕對值的性質解決問題.

【解答】由數軸可知：a>0，ca>b，可得： a+c<0，a+b+c<0，b-a<0，b+c<0.則原式=-（a+c）+（a+b+c）+（b-a）-（b+c）= -a-c+a+b+c+b-a-b-c=-a+b-c.

【說明】化簡含絕對值的代數式，是比較典型的利用數形結合思想解決的問題.首先應結合數軸，判斷出絕對值內代數式的正負，再去掉絕對值符號，合并同類項化簡.

我國著名數學家華羅庚先生說過，“數無形時不直觀，形無數時難入微”，說明數和形是相互依賴的，所以研究數量關系時，要聯系圖形，研究圖形時，常常將其量化，通過形象思維這個中間環節提高抽象思維的能力，加深對某些抽象關系的理解能力，同時也能使解題手段從“單一”走向“靈活”，培養思維的靈活性.因此同學們在學習中要不斷加深對數形結合思想的理解，并加以靈活運用，使我們的數學學習更有意義.