“代數式”中的思想方法

數學思想方法是數學的靈魂，是解決數學問題的金鑰匙.在“代數式”這一章中就有許多重要的數學思想方法需要我們去挖掘、提煉、應用，歸納起來主要有以下幾點.

一、用字母表示數的思想

用字母表示數的思想，也就是代數思想.在具體問題中，用字母表示數往往具有以簡馭繁、捷足先登之功效.

例1 計算2012×20142014-2014

×20122012= .

解：設a=2012，b=2014，

則原式=a（10000b+b）-b（10000a+a）

=10001ab-10001ab=0.

【點評】透過此例不難看出，運用字母表示數的思想解題，不僅思路簡捷、過程明快，而且饒有趣味.

二、分類討論思想

某些數學問題，涉及的概念、法則、性質、公式是分類給出的，或在解答過程中，條件或結論不唯一，會產生幾種可能性，這就需要分類討論，從而得出各種情況下的結論.這種處理問題的思維方法就是分類討論思想.分類必須遵循下列兩條原則：（1）每一次分類要按照同一標準進行；（2）分類要做到不重復、不遺漏.

例2 比較a+b與a的大小.

【分析】這里有兩個字母，利用求差法先消去一個字母，再分類討論.

解：因為a+b-a=b，所以，當b>0時，a+b>a；當b=0時，a+b=a；當b<0時，a+b

【點評】對于含有多個字母的代數式的大小比較問題，要設法轉化為只含有一個字母的問題，然后按照字母取正數、零、負數三種情況進行討論.

三、整體思想

整體思想是從整體入手，通過細心觀察和深入分析，找出整體與局部的有機聯系，從整體上把握問題，從而在宏觀上尋求解決問題的途徑.

例3 當a=2，b=3時，求代數式2（2a

-b）3-（2a-b）2+8（2a-b）的值.

【分析】先求出2a-b的值，然后整體代入比較簡捷.

解：因為a=2，b=3，所以2a-b=1，原式=2×13-12+8×1=9.

【點評】這是課本第77頁的習題3.3第1（8）題，直接代入比較復雜，這里運用整體思想，減少了計算量.

四、逆向思維的思想

去括號與添括號、合并同類項與拆項等，都滲透著一種重要的數學思想方法——逆向思維，它有利于創新思維的培養.

例4 已知x2+x-1=0，求代數式2x3

+4x2+3的值.

【分析】逆向應用合并同類項的法則進行拆項，轉化為含x2+x-1的式子，再整體代入.

解：因為x2+x-1=0，所以2x3+4x2+3

=（2x3+2x2-2x）+（2x2+2x-2）+5=2x（x2+x-1）+2（x2+x-1）+5=0+0+5=5.

【點評】求出x的值再代入求值是不明智的選擇，且我們現在還不會由x2+x

-1=0求出x的值.這里將求值式通過拆項轉化為含有代數式x2+x-1的形式，再將x2+x-1=0整體代入變形后的求值式計算，十分簡捷.

五、特殊化思想

用字母表示數的思想是從特殊到一般，反過來，令字母為一些特殊值，即從一般到特殊，這就是特殊化思想.

例5 已知-1

A. a+b B. a-b C. a+b2 D. a2+b

【分析】在-1

解：由-1

【點評】在取特殊值時，要注意兩點：一是所取的特殊值要使所有的代數式有意義；二是在滿足條件的范圍內，所取的值要使運算簡便.

六、實驗、觀察、猜想、論證的思想

例6 觀察圖中的（l）至（4）中小圓圈的擺放規律，并按這樣的規律繼續擺放，記第n個圖中小圓圈的個數為m，則m= （用含 n 的代數式表示）.

【解析】本例的解題目標是求出第n個圖形中有多少個小圓圈，為此我們在給出的4個圖形中探究規律，看看哪些是不變量，哪些是變量，變量的變化規律是什么.在已知的4個圖形中，前面的5個圓圈是不變量，變化的是后面的圓圈.它們的數量分別是：第1個圖形多出0×3個圓圈，第2個圖形多出1×3個圓圈，第3個圖形多出2×3個圓圈，第4個圖形多出3×3個圓圈，…，以此類推，第n個圖形多出（n-1）×3個圓圈，故第n個圖形中共有[5+（n-1）×3]（即3n+2）個圓圈，因此應填3n+2.

【點評】實驗是基礎，在實驗中要注意分析和觀察規律；觀察是關鍵，在觀察中要透過現象看本質，從特殊中找出一般；猜想是核心，會推理判斷，能歸納猜想，就能有所發現；論證是結果，是對實驗、觀察、猜想的科學總結.