“絕對值”絕對巧妙

絕對值是初中代數中的一個基本概念，一些比較復雜的數學問題，如果用常規的方法做會比較繁瑣，而運用絕對值的幾何意義解題，很形象直觀，往往能取得事半功倍的效果.絕對值的幾何意義可以借助數軸來加以認識.我們知道a的幾何意義是：數軸上表示a的點到原點的距離.例如-3表示數軸上-3表示的點到原點的距離.a-b的幾何意義是：數軸上表示數a、b的兩點的距離.例如x-3表示數軸上數x表示的點A到3表示的點B的距離，即x-3=線段AB的長 .（如圖1）

下面我們就來學習如何用絕對值的幾何意義解決一些比較“奇妙”的最值問題.

例1 已知x是有理數.

（1）求x-2+x+1的最小值；

（2）求x-2-x+1的最大值和最小值.

解：我們把數軸上表示x的點記為P. 由絕對值的幾何意義知：

x-2表示P點到數2表示的點的距離（線段PB的長）；

x+1表示P點到數-1表示的點的距離（線段PA的長）.

（1）x-2+x+1表示P點到表示數2和-1兩點的距離的和，要使和最小，則這點必在-1～2之間（包括這兩個端點）取值（如圖2所示）.

故x-2+x+1的最小值為3.

（2）x-2-x+1可以看做PB-PA的長.

① 當P在-1左邊時其差恒為3；

② 當P在-1右邊以及2左邊時，其差在-3～3之間（包括這兩個端點）；

③ 當P在2右邊時其差恒為-3.

因此，x-2-x+1的最大值和最小值分別為3和-3.

上面的例1我們通過絕對值的幾何意義把原本需要對絕對值分段化簡再求最值的代數問題轉化為幾何中的線段計算問題，解法簡捷、巧妙.

我們再用這種簡捷巧妙的方法來解決下面的問題，看看有沒有6KkqNDazpMPOHHyzuchQEA==新的收獲.

例2 （1）求x-1+x-2+x-3的最小值.

（2）求x-1+x-2+x-3+x-4的最小值.

解：（1）由絕對值的幾何意義知，x-1，x-2，x-3分別表示x到1，x到2，x到3的距離.由例1（1）的分析知，

x-1+x-3是在x處于1和3之間即當1≤x≤3時有最小值2.

又當x=2時x-2取最小值0，且2在1和3之間.

所以當x=2時，x-1+x-2+x-3有最小值2.

（2）根據絕對值的幾何意義知，

x-1，x-2，x-3，x-4分別表示x到1，x到2，x到3，x到4的距離.

由例1（1）的分析知，x-1+x-4是在1≤x≤4之間有最小值3.

x-2+x-3是在2≤x≤3之間有最小值1.

所以x-1+x-2+x-3+x-4是在2≤x≤3之間有最小值4.

根據例2的兩個小題，我們試著去思考，如果求x-1+x-2+x-3+x-4+x-5的最小值呢？求x-1+x-2+x-3+…+x-n（n為正整數）的最小值呢？

我們來看下面的這個題.

例3 （2004·煙臺）先閱讀下面的材料，然后解答問題：在一條直線上有依次排列的n（n>1）臺機床工作，我們要設置一個零件供應站P，使這n臺機床到供應站P的距離總和最小.要解決這個問題先“退”到比較簡單的情形.

如圖4，如果直線上有2臺機床時，很明顯設在A1和A2之間的任何地方都行，因為甲和乙所走的距離之和等于A1到A2的距離.

如圖5，如果直線上有3臺機床時，不難判斷，供應站設在中間一臺機床A2處最合適，因為如果P不放在A2處，甲和丙所走的距離之和恰好是A1到A3的距離，可是乙還得走從A2到P的這一段，這是多出來的，因此P放在A2處是最佳選擇.

不難知道，如果直線上有4臺機床，P應設在第2臺與第3臺之間的任何地方，有5臺機床，P應設在第3臺位置.問題：

（1）有n臺機床時，P應設在何處？

（2）根據（1）的結論，求x-1+x-2+x-3+…+x-617的最小值.

解：當只有2臺機床時，可以看做例1（1）的情況；當有3臺機床時，可以看做例2（1）的情況；當有4臺機床時，可以看做例2（2）的情況.可以發現當臺數為奇數和偶數時，獲得最小值的情況是不一樣的：當臺數是偶數時，P設在最中間的兩臺之間的任何地方；當臺數是奇數時，P設在最中間的那臺的位置.根據以上分析來解這題.

（1）當n為偶數時，P應設在第■臺和（■+1）臺之間的任何地方；

當n為奇數時，P應設在第■臺的位置.

（2）根據絕對值的幾何意義，求x-1+x-2+…+x-617的最小值就是在數軸上找出表示x的點，使它到表示1，2，…，617各點的距離之和最小.

根據問題1的結論，當x=309時，原式的值最小，最小值是95172.

從剛才這道中考題我們可以有很多收獲.首先它給了我們一個研究數學問題的方法，那就是從特殊到一般的數學思考方法，通過開始的特例進行演繹，然后歸納到一般情況；第二就是要學會分類，不同的情況要有不同的說明.通過這題，我們已經可以解決例2中思考的問題.

通過上面幾個例題的講解，我們知道絕對值的幾何意義的運用是一種簡捷、奇妙的方法，應當充分重視.希望同學們在解決一些類似的比較復雜的問題時，能開闊思路，運用絕對值的幾何意義，結合數軸直觀形象地分析，這樣往往能取得事半功倍的效果.