從一道習題的解法到一類問題的解法

義務教育教科書蘇科版《數學》七年級上冊第92頁第10題如下：

用正方形的普通水泥磚和彩色水泥磚按下圖的方式鋪人行道：

（1）圖①中有彩色水泥磚 塊，圖②中有彩色水泥磚 塊，圖③中有彩色水泥磚 塊；

（2）像這樣，第n個圖形有彩色水泥磚

塊.

【分析】本題屬于根據圖形的變化尋找規律的題型，是一道典型的規律探索類問題，其解法很多，下面我們一起來分析解題的基本思路，從中歸納出解決這類規律探索題的基本方法，進而運用這些基本方法解決一類問題.

【解法1】觀察圖形從簡單到復雜的變化過程中，后一個圖案比前一個圖案多了幾塊彩色水泥磚，尋找出圖案的變化規律即可.本題中，第一個圖案有4=3×1+1塊彩色水泥磚；第二個圖案比第一個圖案多了3塊彩色水泥磚，共有7=（3×2+1）塊彩色水泥磚；第三個圖案比第二個圖案也多了3塊彩色水泥磚，共有10=（3×3+1）塊彩色水泥磚；……以此類推，按照這樣的規律擺下去，則第n個圖形有彩色水泥磚（3n+1）塊.

【解法2】本題中的圖案可以看做是由一些正方形水泥磚組成的，當n=1時，圖案中有一個白色正方形水泥磚，正方形水泥磚有4條邊，4條邊上各有一個彩色水泥磚，因此圖案中共有4×1塊彩色水泥磚；當n=2時，圖案中有兩個白色正方形水泥磚，每個白色正方形水泥磚有4條邊，4條邊上各有一個彩色水泥磚，其中有一個彩色水泥磚重疊了，因此共有4×2-1塊彩色水泥磚；當n=3時，圖案中有三個白色正方形水泥磚，每個白色正方形水泥磚有4條邊，4條邊上各有一個彩色水泥磚，其中有兩個彩色水泥磚重疊了，因此共有4×3-2塊彩色水泥磚；……以此類推，第n個圖形有彩色水泥磚4n-（n-1）=（3n+1）（塊）.

通過上述兩種常用的思路，可以解決許多類似的問題.

例1 用同樣大小的黑色棋子按圖2所示的方式擺圖形，按照這樣的規律擺下去，則第n個圖形需棋子 枚（用含n的代數式表示）.

【解法1】本題中，第一個圖案有4=3×1

+1個黑棋子；第二個圖案比第一個圖案多了3個黑棋子，共有7=3×2+1個黑棋子；第三個圖案比第二個圖案又多了3個黑棋子，共有10=3×3+1個黑棋子；……以此類推，按照這樣的規律擺下去，則第n個圖形需棋子（3n+1）枚.

【解法2】本題中的圖案可以看作是由一些正方形組成的.當n=1時，圖案中有一個正方形，正方形有4個頂點，因此圖案中共4×1枚棋子；當n=2時，圖案中有兩個正方形，每個正方形有4個頂點，其中有一個頂點重復了，因此共有4×2-1枚棋子；當n=3時，圖案中有三個正方形，每個正方形有4個頂點，其中有兩個頂點重復了，因此共有4×3-2枚棋子；……以此類推，第n個圖形需棋子4n-（n-1）=（3n+1）（枚）.

例2 如圖3所示，由一些點組成形如三角形的圖形，每條“邊”（包括兩個頂點）有n（n>1）個點，每個圖形總的點數S是多少？當n=5，7，11時，S是多少？

【解法1】第一個圖案每條“邊”有2個點，共有3=3×1=3×（2-1）個點；第二個圖案每條“邊”有3個點，比第一個圖案多了3個點（每邊各增加一個點），共有6=3+3=3

×2=3×（3-1）（個）點；第三個圖案每條“邊”有4個點，比第二個圖案多了3個點（每邊各增加一個點），共有9=3+3+3=3×3=3×（4-1）（個）點；第四個圖案每條“邊”有5個點，比第三個圖案多了3個點（每邊各增加一個點），共有12=3+3+3+3=3×4=3×（5-1）（個）點；……以此類推，每條“邊”（包括兩個頂點）有n（n>1）個點，每個圖形總的點數S=3（n-1）.當n=5時，S=12；當n=7時，S

=18；當n=11時，S=30.

【解法2】當n=2時，每條“邊”有2個點，共2×3個點，頂點上的點重復計算了一次，所以共有2×3-3=3×（2-1）個點；當n=3時，每條“邊”有3個點，共3×3個點，頂點上的點重復計算了一次，所以共有3×3-3=3×（3-1）個點；當n=4時，每條“邊”有4個點，共4×3個點，頂點上的點重復計算了一次，所以共有4×3-3=3×（4-1）個點；當n=4時，每條“邊”有5個點，共有5×3個點，頂點上的點重復計算了一次，所以共有5×3-3=3×（5-1）個點；……以此類推，每條“邊”（包括兩個頂點）有n（n>1）個點，每個圖形總的點數S=3（n-1）.當n=5時，S=12；當n=7時，S=18；當n=11時，S=30.

你還有其他的方法嗎？寫出來與大家交流吧！

【小試牛刀】

1. （2012·青海）觀察下列一組圖形：

它們是按一定規律排列的，依照此規律，第n個圖形中共有 個★.

2. （2012·寧波）用同樣大小的黑色棋子按如圖5所示的規律擺放：

（1）第5個圖形有多少黑色棋子？

（2） 第幾個圖形有2013顆黑色棋子？請說明理由.

【參考答案】

1.3n+1；2.（1）18；（2）第n個圖需棋子3（n+1）枚，設第n個圖形有2013顆黑色棋子，則3（n+1）=2013 ，解得n=670，即第670個圖形有2013顆黑色棋子.