中考“代數式”新題型

整式加減的有關知識是中考命題的重點內容之一，命題者常常利用這部分知識設計難度適中的新題型.近年來中考中圍繞整式加減設計的新題型主要有以下幾個類型.

一、程序求值型

例1 （2013·蘇州）按照下圖所示的操作步驟，若輸入x的值為2，則輸出的值為 .

【分析】這是一個代數式的求值問題，但沒有直接給出代數式，而是通過運算程序來給出的. 可先根據程序列出運算式子，再把字母的取值代入計算.

解：由轉換器的程序可知，運算程序的代數式為（x+3）2-5，輸入x的值為2，則（2+3）2-5=20.所以應填20.

【方法指導】本題考查了代數式求值，根據圖表準確寫出運算程序是解題的關鍵.

二、整體思考型

例2 （2013·福州）已知實數a，b滿足a+b=2，a-b=5，則（a+b）3·（a-b）3的值是 .

【分析】觀察發現：求值式的底數已知，故采用整體思想代入計算即可.

解：因為a+b=2，a-b=5，所以（a+b）3·（a-b）3=23·53=（2×5）×（2×5）×（2×5）=1000.

【方法指導】在進行整式運算時，需先觀察式子的特點，然后進行計算，有時采用整體思想進行計算會事半功倍.

三、多元思考型

例3 （2012·泰州）若2a-b=5，則多項式6a-3b的值是 .

A. 0 B. 1 C. 3 D. 15

【分析】求代數式值的基本方法是代入，但本題中給出的條件是一個等式，如何代入呢？這正是本題的絕妙之處.解題者思考角度的不同，解法也不同.

解法1：（參數代入法）將a當做已知數（參數），根據“減數等于被減數減去差”，可得b=2a-5，則6a-3b=6a-3（2a-5）=6a

-6a+15=15.

解法2：（整體代入法）把6a-3b變形為3（2a-b），然后把2a-b整體代入，即可求得其值.6a-3b=3（2a-b）=3×5=15.

解法3：（特值代入法）取a=0，則b=-5，當a=0，b=-5時，6a-3b=0-3×（-5）=15.

【方法指導】對于給定的條件，要善于從多角度來看，這里解法1 是將字母a看作常數來參與運算的；解法2是從整體的角度來看的，從待求的代數式中變換出已知條件式2a-b，整體代入，十分簡捷，也可以將已知式兩邊同時乘以3，整體得出結論；解法3是從特殊到一般的角度來看的，巧妙地取a=0，則b為整數，代入求值式計算比較簡捷，用這種方法解題要注意兩點：一是所取的字母值要使已知式和求值式有意義，二是所取的字母值要使計算簡便.

四、定義運算型

例4 （2011·廣州）定義新運算“ ”，規定：a b=■a-4b，則12 （-1）= .

【分析】這也是代數式求值問題，即求當a=12，b=-1時代數式a b=■a-4b的值.

解：根據定義，當a=12，b=-1時，a b=12 （-1）=■×12-4×（-1）=8.

【方法指導】對于這類新定義運算的代數式求值問題，理解“定義的運算”是關鍵.

五、規律探索型

例5 （2012·珠海）觀察下列等式：

12×231=132×21，

13×341=143×31，

23×352=253×32，

34×473=374×43，

62×286=682×26，

……

以上每個等式中兩邊數字是分別對稱的，且每個等式中組成兩位數與三位數的數字之間具有相同規律，我們稱這類等式為“數字對稱等式”.

（1）根據上述各式反映的規律填空，使式子成為“數字對稱等式”：

①52× = ×25；

② ×396=693× .

（2） 設這類等式左邊兩位數的十位數字為a，個位數字為b，且2≤a+b≤9，寫出表示“數字對稱等式”一般規律的式子（含a、b），并證明.

【分析】（1）等式左邊兩個因數的特點是：三位數的百位數字是兩位數的個位數字，個位數字是兩位數的十位數字，十位數字是百位數字與個位數字之和；等式右邊兩個因數的特點是：兩位數是將等式左邊的兩位數的個位數字和十位數字互換，三位數是將等式左邊的三位數的個位數字和百位數字互換；（2）用字母表示數并對上述規律進行驗證.

解：（1）①∵5+2=7，∴左邊的三位數是275，右邊的三位數是572，∴52×275

=572×25；②∵左邊的三位數是396，∴左邊的兩位數是63，右邊的兩位數是36，63

×396=693×36.故答案為：①275，572；②63，36.

（2）∵左邊兩位數的十位數字為a，個位數字為b，∴左邊的兩位數是10a+b，三位數是100b+10（a+b）+a，右邊的兩位數是10b+a，三位數是100a+10（a+b）+b，∴一般規律的式子為：（10a+b）×[100b+10（a+b）

+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）.

證明：左邊=（10a+b）×[100b+10（a+b）

+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a）=（10a+b）·（110b+11a）=11（10a+b）（10b+a），

右邊=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）

=（100a+10a+10b+b）（10b+a）=（110a+11b）·（10b+a）=11（10a+b）（10b+a），

左邊=右邊，所以“數字對稱等式”一般規律的式子為：（10a+b）×[100b+10（a+b）

+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）.

【方法指導】解決規律探索題，要注意分析和觀察規律，歸納特點，證明結論.