“有理”與“無理”，“理”在哪里？

在“有理數”中我們將對小學中學過的數進行新的分類，并引入新的概念——“有理數”和“無理數”.那么同學們知道“有理”與“無理”的道理在哪里嗎？下面我就帶同學們一探究竟.

一、“有理數”和“無理數”名稱的由來

在西方，人們將許多幾何成就歸功于畢達哥拉斯學派， 但其學派基本的信條卻是“萬物皆數”.對此， 其學派成員費洛羅斯曾明確宣稱： 人們所知道的一切事物都包含數. 因此，沒有數就既不可能表達、也不可能理解任何事物.這里所說的數指整數.分數被看成兩個整數之比■（m、n是整數，n≠0）.畢達哥拉斯學派相信任何量都可以表示成兩個整數之比（即某個有理數），在幾何上這相當于說： 對于任何兩條給定的線段， 總能找到第三條線段， 以它為單位線段能將給定的兩條線段劃分為整數段.如：線段a=8，線段b=3，我們就可以找到第三條線段c=1，將線段a劃分為8段，線段b劃分為3段；若線段a= ■，線段b=■，我們就可以找到第三條線段c=■，將線段a劃分為21段，線段b劃分為16段.希臘人稱這樣的兩條給定線段為“可公度量”.然而畢氏學派后來卻發現： 并不是任意兩條線段都是可公度的， 也有不可公度的線段， 如正方形的對角線和其一邊構成不可公度線段. 由于畢氏學派關于比例定義假定任何兩個同類量可通約， 比例理論中的所有命題都局限在可通約的量上， 因而他們關于相似形的一般理論就失效了.“邏輯上的矛盾”如此之大， 以至于有一段時間， 他們欲將此事保密， 不準外傳.但是人們很快發現不可通約性并不是罕見的現象.畢氏學派的成員泰奧多勒斯發現， 面積等于3、5、6……17（4、9、16除外）的正方形的邊與單位正方形的邊也不可通約， 并對每一種情況都單獨予以證明.希臘數學中出現的這一邏輯困難， 被稱為數學史上的“第一次數學危機”.

無理數的發現， 暴露出有理數系的缺陷：一條直線上的有理數盡管“ 稠密”， 卻有許多“孔隙”，且這種“孔隙”多得“不可勝數”.這樣， 古希臘人把有理數視為是連續銜接的那種算術連續系統的設想， 就徹底破滅了.它的破滅，在以后兩千多年時間里， 對數學的發展起到了深遠的影響.不可通約的本質是什么？長期以來眾說紛紜.兩個不可通約量的比值得不到正確的解釋，而被認為是不可理喻的數.15世紀達芬奇稱其為“無理”的數， 開普勒稱其為“不可名狀的數”.這就是“無理數”名稱的由來.

二、“有理數”與“無理數”的辨析

從無理數的產生過程我們知道了，那些可以寫成分數形式■（m、n是整數，n≠0）的數是有理數，而a2=2中的a不能表示成■（m、n是整數，n≠0）的形式，我們把它稱為無理數.但從小學學習中我們又知道數的分類還可以分為整數和小數，小數中又包括有限小數、無限小數，無限小數中又包括無限循環小數和無限不循環小數.這些數和“有理數”“無理數”有什么關系呢？

很顯然，整數和有限小數都可以寫成分數形式■（m、n是整數，n≠0），而無限循環小數呢？事實上，它也可以寫成上述的分數形式.

例1 將循環小數0.6化為分數.

解：設x=0.6，則10x=6.6.而10x-x=6.6-0.6=6，即9x=6，所以x=■=■.

故0.6=■.

例2 將循環小數0.018化為分數.

解：設x=0.018，則1000x=18.018，所以1000x-x=18.018-0.018=18.

即999x=18，所以x=■=■.

故0.018=■.

從上面的兩個例子，同學們是否感悟到：像0.6和0.018這樣的純循環小數化為分數時，分數的分子是它的一個循環節的數字所組成的數，分母則由若干個9組成，9的個數為一個循環節的數字的個數.

那么對于0.123和1.0456這樣的混循環小數呢？

我們可以將混循環小數先化為純循環小數，然后再化為分數，例如：

0.123=■×12.3=■×（12+0.3）

=■×（12+■）=■，

1.0456=■×10.456=■×（10+0.456）=■×（10+■）=■.

由此可見：無限循環小數可以化為分數形式■（m、n是整數，n≠0），所以它是有理數.而a2=2中的a又是什么樣的數？為什么它不能化為分數呢？

課本上小明和小麗分別從分數和小數的角度用逐步逼近的方法來幫助我們尋找a的值，依次有a不是■，■，■，■，■…1.4

因為有限小數或循環小數都可以化為分數，所以要解決這個疑問，關鍵還在于能不能化為分數形式■（m、n是整數，n≠0）.

在這里我們不妨假設a=■（m、n是整數，n≠0），且m、n互質（即m、n的公因數只有1），兩邊平方得：

a2=■2=■×■=■，因為a2=2，所以■=2，所以m2=2n2.

因為偶數的平方為偶數，奇數的平方為奇數，而2n2為偶數，所以m2為偶數，所以m為偶數，設m=2k （k為整數）.

則m2=（2k）2=2k×2k=4k2=2n2，

所以2k2=n2為偶數，所以n也為偶數.

所以m、n有公因數2，與m、n互質矛盾，所以假設不成立，a不能表示為分數形式■（m、n是整數，n≠0）.

（這里的說理方法稱為反證法，是數學中一種特殊的證明方法，在今后的學習中同學們還會遇到哦.）

因為a不能化為分數形式，所以它既不是整數、有限小數，也不是無限循環小數，但它又是實際圖形中存在的實實在在的數，因此它只能是無限不循環小數，所以我們把這樣的無限不循環小數叫做無理數.小學中學過的π，0.1010010001…（每兩個1之間的0依次遞增一個）都是無限不循環小數，因此它們也是無理數.今后我們還會學到更多的無理數，它們在數軸上和有理數緊密依靠，共同鋪滿整個數軸.

從上面的探索過程中同學們是否了解了“有理數”和“無理數”中的“理”究竟是什么？對了，就是分數形式：■（m、n是整數，n≠0），能表示成分數形式的數就是有理數，反之像無限不循環小數這樣不能表示為分數形式的數就是無理數.