“代數(shù)式”中的思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，是解決數(shù)學(xué)問題的金鑰匙.在“代數(shù)式”這一章中就有許多重要的數(shù)學(xué)思想方法需要我們?nèi)ネ诰颉⑻釤挕?yīng)用，歸納起來主要有以下幾點(diǎn).

一、用字母表示數(shù)的思想

用字母表示數(shù)的思想，也就是代數(shù)思想.在具體問題中，用字母表示數(shù)往往具有以簡(jiǎn)馭繁、捷足先登之功效.

例1 計(jì)算2012×20142014-2014

×20122012= .

解：設(shè)a=2012，b=2014，

則原式=a（10000b+b）-b（10000a+a）

=10001ab-10001ab=0.

【點(diǎn)評(píng)】透過此例不難看出，運(yùn)用字母表示數(shù)的思想解題，不僅思路簡(jiǎn)捷、過程明快，而且饒有趣味.

二、分類討論思想

某些數(shù)學(xué)問題，涉及的概念、法則、性質(zhì)、公式是分類給出的，或在解答過程中，條件或結(jié)論不唯一，會(huì)產(chǎn)生幾種可能性，這就需要分類討論，從而得出各種情況下的結(jié)論.這種處理問題的思維方法就是分類討論思想.分類必須遵循下列兩條原則：（1）每一次分類要按照同一標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行；（2）分類要做到不重復(fù)、不遺漏.

例2 比較a+b與a的大小.

【分析】這里有兩個(gè)字母，利用求差法先消去一個(gè)字母，再分類討論.

解：因?yàn)閍+b-a=b，所以，當(dāng)b>0時(shí)，a+b>a；當(dāng)b=0時(shí)，a+b=a；當(dāng)b<0時(shí)，a+b

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于含有多個(gè)字母的代數(shù)式的大小比較問題，要設(shè)法轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)字母的問題，然后按照字母取正數(shù)、零、負(fù)數(shù)三種情況進(jìn)行討論.

三、整體思想

整體思想是從整體入手，通過細(xì)心觀察和深入分析，找出整體與局部的有機(jī)聯(lián)系，從整體上把握問題，從而在宏觀上尋求解決問題的途徑.

例3 當(dāng)a=2，b=3時(shí)，求代數(shù)式2（2a

-b）3-（2a-b）2+8（2a-b）的值.

【分析】先求出2a-b的值，然后整體代入比較簡(jiǎn)捷.

解：因?yàn)閍=2，b=3，所以2a-b=1，原式=2×13-12+8×1=9.

【點(diǎn)評(píng)】這是課本第77頁的習(xí)題3.3第1（8）題，直接代入比較復(fù)雜，這里運(yùn)用整體思想，減少了計(jì)算量.

四、逆向思維的思想

去括號(hào)與添括號(hào)、合并同類項(xiàng)與拆項(xiàng)等，都滲透著一種重要的數(shù)學(xué)思想方法——逆向思維，它有利于創(chuàng)新思維的培養(yǎng).

例4 已知x2+x-1=0，求代數(shù)式2x3

+4x2+3的值.

【分析】逆向應(yīng)用合并同類項(xiàng)的法則進(jìn)行拆項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為含x2+x-1的式子，再整體代入.

解：因?yàn)閤2+x-1=0，所以2x3+4x2+3

=（2x3+2x2-2x）+（2x2+2x-2）+5=2x（x2+x-1）+2（x2+x-1）+5=0+0+5=5.

【點(diǎn)評(píng)】求出x的值再代入求值是不明智的選擇，且我們現(xiàn)在還不會(huì)由x2+x

-1=0求出x的值.這里將求值式通過拆項(xiàng)轉(zhuǎn)化為含有代數(shù)式x2+x-1的形式，再將x2+x-1=0整體代入變形后的求值式計(jì)算，十分簡(jiǎn)捷.

五、特殊化思想

用字母表示數(shù)的思想是從特殊到一般，反過來，令字母為一些特殊值，即從一般到特殊，這就是特殊化思想.

例5 已知-1

A. a+b B. a-b C. a+b2 D. a2+b

【分析】在-1

解：由-1

【點(diǎn)評(píng)】在取特殊值時(shí)，要注意兩點(diǎn)：一是所取的特殊值要使所有的代數(shù)式有意義；二是在滿足條件的范圍內(nèi)，所取的值要使運(yùn)算簡(jiǎn)便.

六、實(shí)驗(yàn)、觀察、猜想、論證的思想

例6 觀察圖中的（l）至（4）中小圓圈的擺放規(guī)律，并按這樣的規(guī)律繼續(xù)擺放，記第n個(gè)圖中小圓圈的個(gè)數(shù)為m，則m= （用含 n 的代數(shù)式表示）.

【解析】本例的解題目標(biāo)是求出第n個(gè)圖形中有多少個(gè)小圓圈，為此我們?cè)诮o出的4個(gè)圖形中探究規(guī)律，看看哪些是不變量，哪些是變量，變量的變化規(guī)律是什么.在已知的4個(gè)圖形中，前面的5個(gè)圓圈是不變量，變化的是后面的圓圈.它們的數(shù)量分別是：第1個(gè)圖形多出0×3個(gè)圓圈，第2個(gè)圖形多出1×3個(gè)圓圈，第3個(gè)圖形多出2×3個(gè)圓圈，第4個(gè)圖形多出3×3個(gè)圓圈，…，以此類推，第n個(gè)圖形多出（n-1）×3個(gè)圓圈，故第n個(gè)圖形中共有[5+（n-1）×3]（即3n+2）個(gè)圓圈，因此應(yīng)填3n+2.

【點(diǎn)評(píng)】實(shí)驗(yàn)是基礎(chǔ)，在實(shí)驗(yàn)中要注意分析和觀察規(guī)律；觀察是關(guān)鍵，在觀察中要透過現(xiàn)象看本質(zhì)，從特殊中找出一般；猜想是核心，會(huì)推理判斷，能歸納猜想，就能有所發(fā)現(xiàn)；論證是結(jié)果，是對(duì)實(shí)驗(yàn)、觀察、猜想的科學(xué)總結(jié).