用整式加減的知識解決實際問題

整式加減是代數運算的基礎知識，應用整式加減的有關知識可以解決日常生活中的許多問題.現舉幾例說明.

例1 小明在某商場工作的爸爸告訴小明：他們商場進了某種商品，設想按照進價提高40%后銷售，但銷售的情況很不好，結果大量積壓，因此準備按售價的60%出售，并問小明這樣出售該種商品是虧了還是賺了？

【分析】出售該種商品是虧還是賺，需要比較實際售價與進價的大小.

解：根據題意，設進價為a元，則實際出售的價格為：a（1+40%）·60%，即■a元，因為■a

【說明】對于商品銷售中的虧與賺問題，常常需要列出實際售價與進價的代數式，再通過比較代數式值的大小來得到結論.

例2 小明所在的七年級（2）班3位老師決定帶領全班a名同學（a不少于3）在“十一”期間去南京旅游.春光旅行社的收費標準為：教師全價，學生半價；而華夏旅行社的收費標準為：不管教師還是學生一律八折優惠.這兩家旅行社的票價都是500元/人.小明想：到底選擇哪一家旅行社較為合算？

【分析】到底選擇哪一家旅行社合算，要通過列代數式，用求差法比較，并注意到題目中a≥3的條件，就可以得到結論.

解：春光旅行社的收費標準為：教師全價，學生半價，即教師每人500元，學生每人250元，春光旅行社的總費用為500 ×3+500a×0.5=1500+250a（元）；華夏旅行社的收費標準為一律八折，即每人票價為500×0.8=400（元），華夏旅行社的總費用為（3+a）×500×0.8=1200+400a（元）.（1200

+400a）-（1500+250a）=150a-300.又a≥3，所以150a-300>0，即1200+400a>1500+250a，因此選擇春光旅行社較為合算.

【說明】這是一個生活中的決策類實際問題.解決問題的思路是先通過列代數式建立春光旅行社和華夏旅行社收費標準的數學模型，再應用整式加減的知識對這兩個數學模型進行求差運算，借助于a≥3的條件，確定差的性質符號，進而得到結論.當然，比較兩個數學模型在a≥3的條件下的大小方法不唯一，你還有其他比較大小的方法嗎？寫出來與你的同伴交流.

例3 宜興是有名的陶都.周末小明陪爸爸去陶瓷商城購買一些茶壺和茶杯，了解情況后發現甲、乙兩家商店都在出售同樣品牌的茶壺和茶杯，定價相同：茶壺每把定價30元，茶杯每只定價5元，且兩家都有優惠：甲店買一送一大酬賓（買一把茶壺贈送茶杯一只），乙店全場9折優惠.小明爸爸需茶壺5把，茶杯x只（x不少于5）.

（1）若在甲店購買，則總共需要付多少元？若在乙店購買，則總共需要付多少元？（用含x的代數式表示并化簡）

（2）當需購買15只茶杯時，請你去辦這件事，你打算去哪家商店購買？為什么？

（3）當購買茶杯多少只時，兩種優惠辦法付款一樣？

【分析】（1）由題意可知，在甲店買一把茶壺贈送茶杯一只，故需付5只茶壺的錢和（x-5）只茶杯的錢，已知茶壺和茶杯的價格，可列出付款額的關于x的代數式；在乙店購買全場9折優惠，同理也可列出付款額的關于x的代數式；（2）當x=15時，將其代入兩個代數式，比較得出的代數式值，哪家小就在哪家買；（3） 若兩種優惠辦法付款額一樣，則兩式子的值相等，即兩個代數式值的差為0，計算出x的值即為需購買茶杯的數目.

解：（1）若在甲店購買茶杯x只，因為在甲店買一把茶壺贈送茶杯一只，且茶壺每把M4cpOSZOfLxXyZxuIeRHRA==定價30元、茶杯每只定價5元，則買茶壺5把需要150元，同時得到贈送的茶杯5只，所以只需要買（x-5）只茶杯，即需要5（x-5）元，這樣總共需要付150+5（x

-5）=（5x+125）元；若在乙店購買茶杯x只，則買茶壺5把需要5×30×0.9=135（元），買茶杯x只需要5x×0.9=4.5x（元），這樣總共需要付（4.5x+135）元；（2）當需購買15只茶杯時，在甲店購買需要付5×15+125=200（元），在乙店購買需要付4.5×15+135=202.5（元），因為200<202.5，所以在甲店購買便宜，故選擇甲店購買；（3）若要在兩店付款一樣，則兩式子的值相等，即兩個代數式值的差為0，所以有（5x+125）-（4.5x+135）=0，去括號得5x+125-4.5x-135=0，合并同類項得0.5x-10=0，解得x=20， 所以購買20只茶杯時，兩種優惠辦法付款一樣.

【說明】本題是一個常見的市場經濟類問題，購買物品總是越省錢越好，因此就出現對各個商家提出的供貨方案的比較問題.靈活運用代數式的知識可以較好地解決這些問題，所以說代數式是刻畫實際生活問題的一個有效模型.

例4 小明與小亮玩撲克牌游戲.小明背對小亮，讓小亮按下列四個步驟操作.第一步：分發左、中、右三堆牌，每堆牌不少于兩張，且各堆牌現有的張數相同；第二步：從左邊一堆拿出兩張，放入中間一堆；第三步：從右邊一堆拿出一張，放入中間一堆；第四步：左邊一堆有幾張牌，就從中間一堆拿幾張牌放入左邊一堆.這時，小明準確說出了中間一堆牌現有的張數.你認為中間一堆牌現有的張數是 .

【分析】因為第一步各堆牌的張數相同，所以可設為n張，則第二步后左堆有（n-2）張，中間堆有（n+2）張；第三步后，中間有（n+2+1）張；第四步中間堆有（n+3）

-（n-2）=5（張）.

解：5.

【說明】這是一個生活中常見的游戲問題，初看上去過程比較復雜，利用代數式來表示每一步的變化情況，通過代數式的運算就能夠輕松獲得答案.