家庭生活中的數學

代數式是刻畫和研究現實世界數量關系的有效模型，我們在日常生活中常常要用這個數學模型來解決一些實際問題，下面舉例說明代數式知識在家庭生活中的一些妙用.

一、電視機屏幕有多大

例1 如圖1所示，小明家買了一臺74cm的電視機，電視機的長為xcm，寬為ycm（包括邊緣部分），屏幕外邊緣部分長的方向厚度為8cm，寬的方向厚度為4cm，求屏幕的面積.

【分析】根據題意，屏幕的面積即為圖中的陰影部分的面積.我們可以先計算出長為y，寬為8的兩個長方形的面積，和長為x，寬為4的兩個長方形的面積，然后計算重疊部分的面積.

解：屏幕的面積為（xy-8x-16y+128）cm2.

【說明】用這種方法計算屏幕的面積時，忘記加上重疊部分的面積是最常見的錯誤之一.

二、心跳速率知多少

例2 人在運動時的心跳速率通常和人的年齡有關.如果用a表示一個人的年齡，用b表示正常情況下這個人運動時所能承受的每分鐘心跳的最高次數，那么b

=0.8（220-a）.

（1） 正常情況下，14歲的小明在運動時所能承受的每分鐘心跳的最高次數是多少？

（2）小明的爸爸今年50歲，運動時10s內心跳次數為20次，他有危險嗎？

【分析】本題實際上是一道代數式求值題.（1）只要把a=14代入b=0.8（220-a）即可；（2）分別求出50歲的人運動時所能承受的每分鐘心跳的最高次數和這個人實際每分鐘心跳的次數，將二者進行比較即可判斷.

解：（1）當a=14時，b=0.8（220-a）=164.8≈164（次）.所以14歲的小明運動時所能承受的每分鐘心跳的最高次數是164次；（2）當a=50時，b=0.8（220-a）=136（次）.而小明的爸爸實際每分鐘心跳的次數為20×6=120（次）.由于120<136，所以小明的爸爸按照這種情況運動應沒有危險.

【說明】在進行鍛煉時要注意安全，切不可適得其反.這里（1）中只能用去尾法取近似數，否則就不安全了.

三、建筑材料如何算

例3 （1）小明家住房的平面圖如圖2所示，其中衛生間、廚房準備用同一種瓷磚鋪，則需要鋪設瓷磚的面積和是（ ）.

A. 4xy B. 3xy

C. 2xy D. xy

（2） 小明家住房的窗戶形狀如圖3，上部是半圓形，下部是邊長相同的四個小正方形，試計算窗戶的面積及窗框的總長，并求當a=50cm時，窗戶的面積及窗框的總長的值分別是多少？（結果精確到0.1cm）

【分析】（1）結合圖形，分別計算出衛生間和廚房的長和寬，然后算出面積的和；（2）窗戶包括兩大部分，上面是半圓，其半徑是a，下面四個正方形，因此，窗戶的面積=半圓的面積+4個正方形的面積，窗框的總長是所有框架的長，即半圓弧長加上15條等線段的長.

解：（1）衛生間的長為4x-2x-x=x，寬為y，因此面積為xy；廚房的長為4y-2y

=2y，寬為x，因此面積為2xy.所以面積的和是3xy，所以選B.（2）窗戶的面積為4a2+■πa2，窗框的總長為15a+πa.當a=50cm時，窗戶的面積是4a2+■πa2=4×502+■×3.14×502=13925.0cm2；窗框的總長為15a+πa=15×50+3.14×50=907.0（cm）.

【說明】這類計算問題，關鍵是找準所要計算的圖形，不可重復，也不可遺漏.本題中，對半圓直徑所在的兩條線段或遺漏或重復是常見的錯誤.

四、手機話費怎樣繳

例4 某通信公司為了鼓勵多用手機，做出如下規定：每月通話時間60分鐘之內（含60分鐘），每分鐘0.2元，超出部分每分鐘0.1元.小明的爸爸某月通話時間為a分鐘（a>60），請你幫他算算應付多少錢？

【分析】由于小明的爸爸通話時間超出60分鐘，所以他的話費應分兩段繳納，60分鐘的話費為60×0.2=12（元），超出部分的話費為0.1×（a-60）=0.1a-6，再把它們加起來即為應繳的話費.

解：應繳的話費為0.1×（a-60）+60

×0.2=（0.1a+6）（元）.

【說明】分段繳費問題是生活中最常見的問題，在解決這類問題時，不同區間內的收費標準是不一樣的，切不可“張冠李戴”.

五、水（電）費分段算

例5 某市為鼓勵市民節約用水，對自來水用戶按如下標準收費：若每月用水不超過15m3，則每立方米按a元收費；若超過15m3，超過部分按每立方米2a元收費.小明的奶奶家一月份用水35m3，請你幫小明的奶奶算算，這個月她應繳水費多少元？

【分析】小明的奶奶家一月份用水35 m3，超過了15m3，所以水費應分兩部分計算，其中15m3部分每立方米按a元收費，即為15a元；超過部分為35-15=20（m3），每立方米按2a元收費，即為40a元.兩部分相加就是小明的奶奶家一月份應繳的水費.

解：小明奶奶家一月份應繳水費為15a+2a（35-15）=15a+40a=55a（元）.

【說明】這也是分段收費問題，要注意弄清不同的收費標準，正確計算.

六、賺賠算算就知道

例6 小明的媽媽下崗后再就業，做起了小商品生意.第一次進貨時，她以每件a元的價格購進20件甲種小商品，以每件b元的價格購進30件乙種小商品（a>b）.回來后，根據市場行情，她將這兩種小商品都以每件■元的價格出售.小明的媽媽問小明，在這次買賣中，她（ ）.

A.賺錢 B.賠錢

C.不賺不賠 D.無法確定賺還是賠

【解析】甲種小商品成本為20a元，賣出價錢為（10a+10b）元；乙種小商品成本為30b元，賣出價錢為（15a+15b）元.（10a

+10b）+（15a+15b）-20a-30b=5a-5b=5（a

-b），因為a>b，所以a-b>0，即5（a-b）>0，即小明的媽媽在這次買賣中賺錢了.選A.

【說明】本題屬于商品利潤問題，只要我們借助數學知識算一算，結論便一目了然.

七、選擇哪種方案好

例7 某市電話撥號上網有兩種收費方式，用戶可以任選其一.

A：計時制：0.05元/分；

B：50元/月（限一部個人住宅電話上網）.此外，每一種上網方式都得加收通信費0.02元/分.

（1）某用戶某月上網的時間為x小時，請寫出兩種收費方式下該用戶應該支付的費用.

（2）如果某用戶估計一個月上網的時間為25小時，你認為選擇哪種方式合算？

（3）上網時間為多少時，兩種收費方式的費用一樣？上網時間為多少時，選擇包月制方式合算？上網時間為多少時，選擇計時制方式合算？

【分析】要判斷選擇哪一種上網收費方式比較合算，就需要設定某用戶某月上網時間，寫出兩種收費方式下該用戶應支付的費用，再根據某用戶一個月內上網時間確定采用哪種方式合算.要使兩種收費方式的費用一樣，可以通過簡易方程求解.

解：（1）計時制每小時收費3元，通信費每小時1.2元，設某用戶某月上網時間為x小時，則按照A方式，每月要收費（3

+1.2）x=4.2x（元）；按照B方式，每月要收費（50+1.2x）（元）.（2）當x=25時，按照A方式，每月要收費4.2x=4.2×25=105（元）；按照B方式，每月要收費50+1.2x=50

+1.2×25=80（元），所以選擇包月制方式合算.（3）要使兩種收費方式的費用一樣，則有4.2x=50+1.2x，解得x=■，即上網時間為■小時時兩種方式的費用相同；上網時間大于■小時時，選擇包月制方式合算；上網時間小于■小時時，選擇計時制方式合算.

【說明】計算通訊費用是我們經常遇到的問題，有了數學知識這些問題就迎刃而解了.