“絕對(duì)值”絕對(duì)巧妙

絕對(duì)值是初中代數(shù)中的一個(gè)基本概念，一些比較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果用常規(guī)的方法做會(huì)比較繁瑣，而運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義解題，很形象直觀，往往能取得事半功倍的效果.絕對(duì)值的幾何意義可以借助數(shù)軸來(lái)加以認(rèn)識(shí).我們知道a的幾何意義是：數(shù)軸上表示a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.例如-3表示數(shù)軸上-3表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離.a-b的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a、b的兩點(diǎn)的距離.例如x-3表示數(shù)軸上數(shù)x表示的點(diǎn)A到3表示的點(diǎn)B的距離，即x-3=線段AB的長(zhǎng) .（如圖1）

下面我們就來(lái)學(xué)習(xí)如何用絕對(duì)值的幾何意義解決一些比較“奇妙”的最值問(wèn)題.

例1 已知x是有理數(shù).

（1）求x-2+x+1的最小值；

（2）求x-2-x+1的最大值和最小值.

解：我們把數(shù)軸上表示x的點(diǎn)記為P. 由絕對(duì)值的幾何意義知：

x-2表示P點(diǎn)到數(shù)2表示的點(diǎn)的距離（線段PB的長(zhǎng)）；

x+1表示P點(diǎn)到數(shù)-1表示的點(diǎn)的距離（線段PA的長(zhǎng)）.

（1）x-2+x+1表示P點(diǎn)到表示數(shù)2和-1兩點(diǎn)的距離的和，要使和最小，則這點(diǎn)必在-1～2之間（包括這兩個(gè)端點(diǎn)）取值（如圖2所示）.

故x-2+x+1的最小值為3.

（2）x-2-x+1可以看做PB-PA的長(zhǎng).

① 當(dāng)P在-1左邊時(shí)其差恒為3；

② 當(dāng)P在-1右邊以及2左邊時(shí)，其差在-3～3之間（包括這兩個(gè)端點(diǎn)）；

③ 當(dāng)P在2右邊時(shí)其差恒為-3.

因此，x-2-x+1的最大值和最小值分別為3和-3.

上面的例1我們通過(guò)絕對(duì)值的幾何意義把原本需要對(duì)絕對(duì)值分段化簡(jiǎn)再求最值的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何中的線段計(jì)算問(wèn)題，解法簡(jiǎn)捷、巧妙.

我們?cè)儆眠@種簡(jiǎn)捷巧妙的方法來(lái)解決下面的問(wèn)題，看看有沒(méi)有6KkqNDazpMPOHHyzuchQEA==新的收獲.

例2 （1）求x-1+x-2+x-3的最小值.

（2）求x-1+x-2+x-3+x-4的最小值.

解：（1）由絕對(duì)值的幾何意義知，x-1，x-2，x-3分別表示x到1，x到2，x到3的距離.由例1（1）的分析知，

x-1+x-3是在x處于1和3之間即當(dāng)1≤x≤3時(shí)有最小值2.

又當(dāng)x=2時(shí)x-2取最小值0，且2在1和3之間.

所以當(dāng)x=2時(shí)，x-1+x-2+x-3有最小值2.

（2）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義知，

x-1，x-2，x-3，x-4分別表示x到1，x到2，x到3，x到4的距離.

由例1（1）的分析知，x-1+x-4是在1≤x≤4之間有最小值3.

x-2+x-3是在2≤x≤3之間有最小值1.

所以x-1+x-2+x-3+x-4是在2≤x≤3之間有最小值4.

根據(jù)例2的兩個(gè)小題，我們?cè)囍ニ伎迹绻髕-1+x-2+x-3+x-4+x-5的最小值呢？求x-1+x-2+x-3+…+x-n（n為正整數(shù)）的最小值呢？

我們來(lái)看下面的這個(gè)題.

例3 （2004·煙臺(tái)）先閱讀下面的材料，然后解答問(wèn)題：在一條直線上有依次排列的n（n>1）臺(tái)機(jī)床工作，我們要設(shè)置一個(gè)零件供應(yīng)站P，使這n臺(tái)機(jī)床到供應(yīng)站P的距離總和最小.要解決這個(gè)問(wèn)題先“退”到比較簡(jiǎn)單的情形.

如圖4，如果直線上有2臺(tái)機(jī)床時(shí)，很明顯設(shè)在A1和A2之間的任何地方都行，因?yàn)榧缀鸵宜叩木嚯x之和等于A1到A2的距離.

如圖5，如果直線上有3臺(tái)機(jī)床時(shí)，不難判斷，供應(yīng)站設(shè)在中間一臺(tái)機(jī)床A2處最合適，因?yàn)槿绻鸓不放在A2處，甲和丙所走的距離之和恰好是A1到A3的距離，可是乙還得走從A2到P的這一段，這是多出來(lái)的，因此P放在A2處是最佳選擇.

不難知道，如果直線上有4臺(tái)機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第2臺(tái)與第3臺(tái)之間的任何地方，有5臺(tái)機(jī)床，P應(yīng)設(shè)在第3臺(tái)位置.問(wèn)題：

（1）有n臺(tái)機(jī)床時(shí)，P應(yīng)設(shè)在何處？

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，求x-1+x-2+x-3+…+x-617的最小值.

解：當(dāng)只有2臺(tái)機(jī)床時(shí)，可以看做例1（1）的情況；當(dāng)有3臺(tái)機(jī)床時(shí)，可以看做例2（1）的情況；當(dāng)有4臺(tái)機(jī)床時(shí)，可以看做例2（2）的情況.可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)臺(tái)數(shù)為奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)，獲得最小值的情況是不一樣的：當(dāng)臺(tái)數(shù)是偶數(shù)時(shí)，P設(shè)在最中間的兩臺(tái)之間的任何地方；當(dāng)臺(tái)數(shù)是奇數(shù)時(shí)，P設(shè)在最中間的那臺(tái)的位置.根據(jù)以上分析來(lái)解這題.

（1）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，P應(yīng)設(shè)在第■臺(tái)和（■+1）臺(tái)之間的任何地方；

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，P應(yīng)設(shè)在第■臺(tái)的位置.

（2）根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，求x-1+x-2+…+x-617的最小值就是在數(shù)軸上找出表示x的點(diǎn)，使它到表示1，2，…，617各點(diǎn)的距離之和最小.

根據(jù)問(wèn)題1的結(jié)論，當(dāng)x=309時(shí)，原式的值最小，最小值是95172.

從剛才這道中考題我們可以有很多收獲.首先它給了我們一個(gè)研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，那就是從特殊到一般的數(shù)學(xué)思考方法，通過(guò)開始的特例進(jìn)行演繹，然后歸納到一般情況；第二就是要學(xué)會(huì)分類，不同的情況要有不同的說(shuō)明.通過(guò)這題，我們已經(jīng)可以解決例2中思考的問(wèn)題.

通過(guò)上面幾個(gè)例題的講解，我們知道絕對(duì)值的幾何意義的運(yùn)用是一種簡(jiǎn)捷、奇妙的方法，應(yīng)當(dāng)充分重視.希望同學(xué)們?cè)诮鉀Q一些類似的比較復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，能開闊思路，運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義，結(jié)合數(shù)軸直觀形象地分析，這樣往往能取得事半功倍的效果.