不可預知的數學應用

有一個笑話：一個人發明了插頭，但是世界上卻還沒有對應的插座. 人們普遍認為新發明的意義在于運用于實際，改變我們的生活，哪個發明家會弄出一個不知道有什么實際用途的玩意呢？在很多人眼里，數學除了折磨廣大學子之外，是沒有什么實際用途的東西.

然而，人類的輝煌文明終究離不開數學的功勞，只不過，數學成果從被發現到產生實際效益，通常需要一個較長的周期. 現在人們解決實際問題時，使用的很多數學工具往往有成百上千年的歷史. 我們的前輩們發現這些數學定理時，也很少想到它將來的實際用途. 數學本身的嚴謹性使得它能長久地經受時間的考驗，一個定理被證明成立，它便不會因新的定理而被推翻或修改.

數學研究總是跑在時代的前面，因此無法預測將來這些研究可以被用在哪些領域. 數學家們只有專心于純粹的理論研究，然后等待其他領域的天才將數學應用于實際. 如果終止現在貌似“無用”的數學研究，將來可能找不到解決問題之道. 有很多很久之前發現的數學理論是在最近才派上用場的，例如數論被應用于密碼學，計算機程序上有各種算法，虛數被用于飛機飛行的復雜計算等等.

從四元數到古墓麗影

數學史上有一個著名的故事：四元數提出源自于1843年10月16號，愛爾蘭數學家威廉·羅恩·漢密爾頓爵士在和妻子散步時突然想到了i2=j2=k2=ijk=-1的方程解，并且創造了形如a+bi+cj+dk的四元數，為了趕緊記錄下這一思想火花，漢密爾頓爵士顧不得保護文物，立刻將此方程刻在了其經過的布魯穆橋上. 當時漢密爾頓爵士正在研究擴展復數到三維空間，橋上的靈光一現，使得他發現了四元數，直接把研究擴展到了四維.

漢密爾頓爵士隨后將大部分精力都用在了推廣四元數的概念上，因為四元數有著漂亮的數學形式，而且能夠用于地理學、力學、和光學的實際研究中. 在漢密爾頓爵士死后，這一火炬傳到了愛丁堡大學自然哲學教授皮特·格恩里·泰特手中. 著名物理學家威廉·湯姆遜（也被成為開爾文男爵，熱力學溫標單位開爾文便以他的名字命名）曾經說：我和泰特在四元數上進行了長達38年的爭論.兩人一度達成一致，同意在兩人合著的《自然哲學論》中需要的地方引入四元數的概念. 然而，在最終的手稿中，還是完全沒有出現四元數的身影. 這說明，即使是開爾文男爵，也沒有完全意識到四元數的重要性.

19世紀末，向量微積分的出現更是搶走了四元數的光芒. 到20世紀初，數學家們依然更傾向于開爾文男爵的態度，對四元數置之不理. 人們認為四元數空有漂亮的數學結構，沒有什么實際用途，不過是數學史上一個無足輕重的注筆罷了.

令人意外的是，在計算機時代，四元數終于找到了自己的價值. 計算機教授要求學生們必須掌握四元數的知識以進行數學建模. 在三維幾何旋轉計算中，使用四元數比使用矩陣更有優勢. 因此，在機器人技術、計算機視覺和圖像編程領域，四元數都是極為重要的工具.

在150年之后，泰特和漢密爾頓爵士的成果終于得到了認可，盡管他們沒有機會玩一把《古墓麗影》游戲，但是研究成果得以幫助今天建立起了全球數以千億計的計算機產業，他們也應該感到欣慰了.

從堆橙子到“貓”

1998年，一則數學新聞突然成了各大媒體報道的焦點. 來自匹茲堡大學的托馬斯·海爾斯證明了開普勒猜想，即在一個箱子中放置大小一樣的球，采用“面心立方體”的堆積方式（即上層圓球安放在下一層圓球中間的各個凹處）可以使箱子利用效率最高. 也就是說，水果商們在箱子里裝橙子的辦法是最有效的. 海爾斯解答了開普勒在1611年提出的難題，但是水果商們好像并不買賬. 一位水果攤小販在接受電視臺采訪時說：“這簡直是在浪費時間和納稅人的錢！”但開普勒和海爾斯的智慧結晶當然不僅僅是用來裝橙子這么簡單，今天關

于最密堆積的研究成果是現代通訊技術的重要工具，是信道編碼和糾錯編碼研究的核心內容.

1611年，約翰·開普勒提出的水果商堆橙子的辦法是空間利用效率最高的這一猜想，但他自己卻沒有辦法給出證明. 后來，人們發現，這是一個極難解決的問題. 直到1940年，匈牙利數學家拉茲洛·費耶·托斯才解決了圓環堆積問題——可以看做是開普勒猜想的簡化版. 同樣在17世紀，牛頓和大衛·格里高里就關于牛頓數問題進行過爭論，即與一個n維球外切的等維球個數. 容易看出，二維的牛頓數是6（如圖）. 牛頓確信三維的牛頓數是12，但是直到1953年，科特·舒特和范·德·維爾登才予以證明.

2003年，奧萊格·穆辛證明了四維的牛頓數是24；關于五維的牛頓數，目前只發現它在40到44之間；而我們知道八維的牛頓數是240，于1979年被明尼蘇達大學的安德魯·奧德里茲克證明；他同時還發現24維的牛頓數是196560. 八維和二十四維問題的證明都比三維的牛頓數要簡單，而且，它們還與兩種極為密集的球體填充問題相關：八維E8點陣和二十四維Leech點陣.

這些發現令人驚奇，不過這些讓普通人一頭霧水的概念是否有實際意義？20世紀60年代，一位叫戈登·朗的工程師對此持肯定態度. 朗當時正在專心設計調制解調器系統，并且積極的從數學海洋中尋找任何有用的工具. 他需要從一個繁忙的頻道（例如一個電話線）發出一個信號，這通常要選擇一系列的音調來組成一個信號. 但是由于一個頻道傳遞的信號過多，經常出現信號無法被完整接收的情況. 于是，朗將組成信號的聲音用一串數字表示，信號即可被當做一個個包含信息的“小球”，為了使發送的信息量達到最大化，這些“小球”必須被盡可能緊密地排列起來.

20世紀70年代晚期，朗發明了采用E8堆積法傳遞八維信號的調制解調器. 由于這項技術可以通過電話線進行信號傳播，不必重新設計信號電纜，因此大大加快了互聯網的發展. 然而，也有人對朗的成就唱反調. 曾經對朗的數學知識提供幫助的唐納德·考克斯特說：“我感到驚駭，一個美妙的數學理論就這樣被玷污了！”

從賭徒到精算師

文藝復興時期，意大利出現了一位大學者，同時也是一位著名的賭徒卡爾達諾. 卡爾達諾精通數學、物理、占星學，在當時被稱作百科全書式的學者. 然而卡爾達諾的賭術并不高超，他在賭桌上輸掉了大把的家產. 不過他的智慧還是給后人留下了寶貴財富，他在16世紀中葉開始研究概率論，創作了《論賭博游戲》一書，并且在其死后的1663年才出版. 這本書被認為是第一部概率論著作，開創了現代概率論，也為今天的精算科學打下了基礎.

一個世紀后，法國賭徒梅內面臨一個難題. 他經常玩的一個游戲是連續仍四次骰子，賭其中能否至少出現一次6. 在這個游戲中，梅內贏多輸少. 在另外一個游戲中，一次扔2個骰子，連續扔24次，賭其中是否可以至少扔到一次2個6. 梅內認為這兩個游戲贏錢的概率是相等的，但他發現，玩第二個游戲卻是輸多贏少. 于是他向朋友帕斯卡爾求助，帕斯卡爾隨后在1654年和費馬在信件往來中探討此問題，兩人的通信為概率論的發展打下了基礎. 1657年，荷蘭人惠更斯在兩人研究成果的基礎上發表了《論賭博中的計算》，這也是第一部公開發表的概率論著作.

十七世紀晚期，雅各布·伯努利發現，概率論遠遠不止用于賭博. 他寫下了《猜度數》，書中鞏固和擴展了卡爾達諾、費馬、帕斯卡爾和惠更斯等人的研究. 在卡爾達諾研究的基礎上，他提出了伯努利實驗，他發現，隨機擲一次骰子，每個數字出現的概率都是■，但若連續擲6次骰子，也不可能確保每個數字都出現. 伯努利還提出了大數定理，指在一個隨機事件中，隨著試驗次數的增加，事件發生的頻率越趨近于一個穩定值.

過去的保險公司只敢賣出有限數量的保單，因為賣出越多的保單，看上去賠付的風險也越高，保險公司擔心賣出過多的保單會使公司不堪重負而垮掉. 直到十八世紀初期，保險公司才開始像現在一樣大肆推銷保險，因為伯努利的大數定理證明，保單賣的越多，賠付的概率就越接近一個穩定的值，風險因此是可控的.

毫不否認，數學家們研究的問題往往比較抽象和超前，現在看不出有什么實際應用的意義. 數學中有很多無法用數學以外語言表述的概念（例如一個五維世界），但這些概念是數學這門學科的基石，也正是這些看似沒有實際用途的概念構成了數學的奇妙與美麗. ■

（本文選自果殼網）