數列的概念與簡單表示法

重點難點

重點：由數列的前幾項寫出數列的通項公式，考查歸納推理思想，考查應用意識和創新意識；由數列遞推公式求通項，考查轉化、變形、計算和推理能力；由Sn與an的關系求通項，通過構造遞推關系式轉化為遞推數列求通項，考查推理論證能力.

難點：由數列的遞推式求通項，因遞推式的不同，方法較多，差別很大.

方法突破

1. 創新題中的“觀察—歸納—推理”思想

（1）由數列的前幾項求它的一個通項公式，要注意觀察每一項的特點，可使用添項、還原、分割等方法；對于正、負符號的變化，可用（-1）n或（-1）n+1來調整，轉化為一些常見數列的通項公式來求.

（2）由數列的前幾項寫出數列的一個通項公式是不完全歸納法，猜想出的通項公式只是一個“合情猜想”，對其正確性，通常用數學歸納法進行證明.

2.由數列遞推公式求通項公式的技巧

（1）累加法：遞推關系式為an+1-an=f（n），采用累加法. “累加法”實為等差數列通項公式的推導方法.

（3）構造法：遞推關系式為an+1=pan+q，an+1=pan+f（n），an+1=pan+qan-1等，都可以通過恒等變形，構造出等差或等比數列，利用等差或等比數列的定義進行解題，其中的構造方法可通過待定系數法來確定.

3. 數列的前n項和Sn與an的轉化

當題目中給出的數列的前n項和Sn與an的關系式為an=f（Sn）或Sn=f（an）時，我們通常利用公式an=S1，n=1，Sn-Sn-1，n≥2轉化為an或Sn的遞推關系式求解.

典例精講

六邊形數N（n，6）=2n2-n.

可以推測N（n，k）的表達式，由此計算N（10，24）=___________.

思索 本題可構造新數列，其中p為常數，使之成為公比為3的等比數列，即an+1+p=3（an+p），然后用待定系數法求出p.

另外，對于形如an+1=pan+a·n+b形式的遞推式，還可以用“差分法”轉化為等比數列求解.

所以數列{an+1}是公比為3的等比數列，所以an+1=2·3n-1.

所以an=2·3n-1-1.

破解二 由an+1=3an+2，當n≥2時，an=3an-1+2，

兩式相減得an+1-an=3（an-an-1），即數列{an+1-an}是公比為3的等比數列.

所以an-an-1=（a2-a1）·3n-2=4·3n-2，再由累加法得an-a1=4（3n-2+3n-1+…+3+1）=2（3n-1-1），所以an=2·3n-1-1.

對于不能直接運用累乘法的情形，可先將原遞推式變形成這種形式，然后再用累乘法求解.

破解 因為an+1=5n·an，a1=3，

思索 該數列的遞推式中所含的3n是變量，而不是常量，故應構造新數列{an+λ3n}，其中λ為常數，使之成為公比是2的等比數列.

破解一 構造數列{an+λ3n}，λ為不為0的常數，使之成為公比是2的等比數列，

即an+1+λ3n+1=2（an+λ3n），整理得an+1=2an+（2λ3n-λ3n+1）.

對照原遞推式可得2λ3n-λ3n+1=3n，所以λ=-1，

所以an+1-3n+1=2（an-3n），所以{an-3n}是首項為a1-31=-2，q=2的等比數列，所以an-3n=-2×2n-1，所以an=3n-2n.

變式練習

1. 設數列{an}的通項公式為an=n2-λn，若數列{an}為單調遞增數列，則實數λ的取值范圍為（ ）

A. λ<2 B. λ≤2

C. λ<3 D. λ≤3

2. （2012年四川高考）記[x]為不超過實數x的最大整數，例如，[2]=2，[1.5]=1，[-0.3]=-1. 設a為正整數，數列{xn}滿足x1=a，xn+1=（n∈N？鄢），現有下列命題：

①當a=5時，數列{xn}的前3項依次為5，3，2；

②對數列{xn}都存在正整數k，當n≥k時總有xn=xk；

③當n≥1時，xn>-1；

④對某個正整數k，若xk+1≥xk，則.

其中的真命題有____________. （寫出所有真命題的編號）

3. 若已知數列{an}中，a1=1，an+1=an+，則an=________.

4. 已知數列{an}中，a1=1，前n項和Sn=an，求{an}的通項公式.

5. 數列{an}的首項a1=5，前n項和Sn，且Sn+1=2Sn+n+5（n∈N？鄢），求數列{an}的通項公式.

參考答案

1. 法一（數列的單調性）：因為數列{an}為單調遞增數列，所以an+1>an（n∈N？鄢）恒成立，所以（n+1）2-λ（n+1）>n2-λn（n∈N？鄢），所以λ<（2n+1）min（n∈N？鄢），所以λ<3（n∈N？鄢），故選C.

對于②③④可以采用特殊值法列舉：當a=1時，x1=1，x2=1，x3=1，…，xn=1，…，此時②③④均對；

當a=2時，x1=2，x2=1，x3=1，…，xn=1，…，此時②③④均對；

當a=3時，x1=3，x2=2，x3=1，x4=2，…，xn=1，…，此時③④均對.

綜上，真命題有①③④.

5. 法一：由已知得Sn+1=2Sn+n+5（n∈N？鄢），得Sn=2Sn-1+n+4（n≥2），

相減得Sn+1-Sn=2（Sn-Sn-1）+1，即an+1=2an+1，即an+1+1=2（an+1）.

所以an+1=（a1+1）·2n-1=3·2n，所以an=3·2n-1.

法二：由已知Sn+1=2Sn+n+5（n∈N？鄢）得Sn+1+（n+1）+6=2（Sn+n+6），

所以數列{Sn+n+6}是公比為2的等比數列，Sn+n+6=（S1+1+6）·2n-1=3·2n+1，所以Sn=3·2n+1-n-6.