不等式的解法

重點難點

本部分內容由解二次不等式、高次不等式、分式不等式、絕對值不等式、含參不等式組成. 客觀題主要考查以上不等式的基本解法，或已知二次函數零點的分布來考查參數的取值范圍；主觀題常把對不等式的考查與其他知識相結合，比如考查導數及其應用為主的試題中，解不等式在判斷函數單調性方面起到了關鍵作用.

重點：對于以上各種類型，一要熟練掌握它們各自的典型解法；二要注重提升運算的準確性，減少思路對而運算錯的遺憾.

難點：含參不等式要做到正確分類，以做到各種情況不重不漏.

方法突破

1. 一元二次不等式的解法

先將二次項系數化正，再借助對應二次函數的圖象寫出解集.

2. 高次不等式的解法

只要求會解可化為一邊是0，另一邊可分解為關于x的一次或二次因式的積的形式，解法用“標根畫線”法，注意穿根時“奇穿偶回”.

3. 分式不等式的解法

4. 絕對值不等式的解法

絕對值不等式的求解關鍵是去掉絕對值符號. 含一個絕對值符號的不等式的常見解法是f（x）>g（x）？圯f（x）>g（x）或f（x）<-g（x）；f（x）

5. 含參不等式的解法

含參不等式可以是以上所列不等式中的任一種，只不過由于參數取值不確定往往需要進行分類討論.

典例精講

思索 本例主要考查一元二次不等式的解法. 化為ax2+bx+c（a>0）的形式時，確保二次項的系數為正能提高準確率，在借助二次函數的圖象求解時對相應二次方程的判別式符號的判斷也是一個重要環節.

（3）原不等式可化為x2-5x-14≤0，即（x-7）（x+2）≤0. 易得不等式的解集為{x-2≤x≤7}

思索 本例考查高次不等式的解法. 首先將式子左側化為若干個關于x的一次乘積的形式（注意x的系數為正），然后利用數軸標根（注意根的實虛）畫線（從右上方畫起），畫線時注意“奇次穿偶次回”.

（2）由已知，原不等式可化為x-5≠0，（x+4）（x-1）>0，即x≠5，x>1或x<-4，故解集為{xx<-4，或15}.

注：本題若改為（x+4）（x-5）2（1-x）3≤0，又會有怎樣的變化呢？則原不等式化為x≠5，（x+4）（x-1）≥0. 類似的題目有“解不等式x（x+2）（x-7）≥0”，一定要單獨考慮非負式子等于0的情況.

思索 本例是含一個絕對值的問題. 若絕對值單獨在式子一側（如第（1）小題），則直接去掉絕對值符號；若絕對值不單獨在式子一側（如第（2）小題），則通過討論去掉絕對值符號.

思索 本例考查含兩個絕對值的解法. 通法是零點分區討論去掉絕對值符號，另外第（2）小題還可以用幾何意義的方法求解；發現第（3）小題的式子兩邊非負，可以兩邊同時平方去掉絕對值符號，還可以轉化為含一個絕對值的問題.

（2）法一：同（1）小題，以-2和1作為零點分區討論.

法二：x-1表示數軸上的點到1的距離，x+2表示數軸上的點到-2的距離，因此本題就是找數軸上的點到-2和1的距離之和小于15的點的集合. 畫數軸分析知-2和1之間的點均符合要求；若在-2左邊應是距 -2的距離在6以內的點符合要求；若在1右邊應是距1的距離在6以內的點符合要求，因此不等式的解集是（-8，7）.

（3）法一：同（1）小題，以-1和-2作為零點分區討論.

注：此題若直接在兩邊同時乘2x+1，必須討論2x+1的符號，否則會導致錯誤.

（2）若不等式（k-3）x2+（k-3）x+4>0恒成立，求實數k的取值范圍.

（3）解關于x的不等式：ax2-（a+2）x+2>0.

思索 本例考查含參不等式的解法. 含參問題應先觀察歸屬于哪種類型以確定解法，然后合理地對參數進行分類討論，分類的標準一般是：

（1）是不是某類不等式. 如ax2-（a+2）x+2>0是不是二次不等式？

（2）由不等式（k-3）x2+（k-3）x+4>0恒成立，首先考慮k=3時，不等式變為4>0，顯然恒成立；

其次k≠3時，此二次不等式要恒成立，則k-3>0，？駐=（k-3）2-4（k-3）×4<0.

所以k>3，k2-22k+57<0，即k>3，3

（3）關于x的不等式ax2-（a+2）x+2>0可化為（ax-2）（x-1）>0.

①當a=0時，不等式變為x-1<0，解集為{xx<1}.

變式練習

2. 若存在正數x使2x（x-a）<1成立，則a的取值范圍是？搖（ ）

A.（-∞，+∞）B. （-2，+∞）

C.（0，+∞） D. （-1，+∞）

3. 設a，b∈R，a-b>2， 則關于實數x的不等式x-a+x-b>2的解集是______.

參考答案

1. A 2. D 3. R

（2）因為x+1+x-2≥（x+1）-（x-2）=3，當且僅當（x+1）（x-2）≤0，即-1≤x≤2時取得等號，所以f（x）的最小值為3.