新理念下中考數學試題的變化

【摘 要】現如今中考題型越來越新穎，在應用問題、猜想問題和閱讀理解題這幾類試題中顯得尤為明顯。本文結合例題闡述如何提高學生的實踐能力、增強學生的分析能力、加強學生的自學能力，強化學生的動手能力。

【關鍵詞】應用 實踐 猜想 分析 理解 自學

近幾年隨著初中數學課程標準的實施，各地中考試題中具有探索性、實踐性、創新性的越來越多。它強調以學生發展為本，特別重視發揮學生主體性。面對新的教育理念，如何適應數學教學改革要求，重視學生個性和創新性思維能力的培養是一個重要的課題。下面我們就以中考試題為例，一起討論幾類問題，供師生在中考復習時參考。

一、探索應用問題，提高學生的實踐能力

數學是改革客觀世界的重要工具，我們應該用動態的觀點去認識數學。應用數學是學數學的出發點和歸宿，所以應用題也是中考命題的熱點。據調查，初中學生中大多數不理解利潤、看不懂股票的走勢圖，究其原因是在校內外學做家庭理財和參與社會服務的機會太少。新課程標準重視數學學習與實踐的結合，重視考查學生在面對真實情境下解決問題的能力，從而提高學生對應用性問題的領悟能力和解決能力。

例1：某商場銷售某種品牌的純牛奶，已知進價為每箱40元，生產廠家要求每箱售價在40元至70元之間，市場調查發現，若每箱以50元銷售，平均每天可銷售90箱，價格每降低1元，平均每天多銷售3箱，價格每升高1元，平均每天少銷售3箱。（1）寫出平均每天銷售Y（箱）與每箱售價X（元）之間的函數關系式（注明范圍）。（2）求出商場平均每天銷售這種牛奶的利潤W（元）與每箱牛奶的售價X（元）之間的二次函數關系式。（每箱的利潤=售價-進價）（3）求出問題2中二次函數圖象的頂點坐標，并求當X=40，70時W的值。在給出的坐標系中畫出函數圖象的草圖。（4）由函數圖象可以看出，當牛奶售價為多少時，平均每天的利潤最大？最大利潤為多少？

這類題型旨在利用與生活實際有關的具體情境，關注學生的心理發展，搭起數學與實際問題的橋梁，協助學生體驗由生活情境中抽象出的數學問題，這類問題最終歸結為一個函數模型。新教材帶給學生廣闊的發展空間，要求我們在教學過程中有意識地教給學生實際生活和生產實踐中有用的數學基礎知識，讓學生主動關注身邊的實際問題，并學會運用數學建模思想方法，用數學的觀點和方法來考察周圍的事物，培養和提高學生的應用意識和應用能力。

二、探索猜想問題，增強學生的分析能力

猜想是一種高層次的思維活動，是數學發現過程中一種創造性思維。當代著名數學教育家波利亞也指出：“要成為一個好的數學家，你必須是一個好的猜想家。”近幾年在各地中考試題中出現了各種類型的猜想型試題，并逐漸地由簡單型向復雜型、單一型向多向型轉化，低層次猜想向高層次、高質量型猜想問題轉移。

例2：如圖1，在邊長為2個單位長度的正方形ABCD中，點O、E分別是AD、AB的中點，點F是以點O為圓心、OE的長為半徑的圓弧與DC的交點，點P是弧EF上的動點，連接OP，并延長交直線BC于點K。

過點P作弧EF所在圓的切線，當該切線不與BC平行時，設它與射線AB、直線BC分別交于點M、G。

（1）當K與B重合時，BG∶BM的值是多少？

（2）在點P的運動過程中，是否存在BG∶BM=3的情況？你若認為存在，請求出BK的值；你若認為不存在，試說明其中的理由。一般地，是否存在BG∶BM=n（n為正整數）的情況？試提出你的猜想（不要求證明）。

分析：

（1）如圖2，當K與B重合時，因為MG與弧EF所在的圓相切于點P，所以OB⊥MG，所以∠ABO+∠BMG=90°。因為∠BGM+∠BMG=90°，所以∠ABO=∠BGM。

所以Rt△BAO∽Rt△GBM。

（2）如圖3，假定存在這樣的點P，使得BG∶BM=3，過點K做KH⊥OA于H，那么，四邊形ABKH為矩形，即有KH=AB=2。

因為MG與弧EF所在的圓相切于點P，所以OK⊥MG于P。所以∠HKO+∠KIG=90°，又因為∠G+∠KIG=90°，所以∠HKO=∠G。又因為∠OHK=∠GBM=90°，所以△OHK∽△MBG，所以存在這樣的點K，使得BG∶BM=3。同理，可以證明：在線段BC、CD及CB的延長線上。由此可猜想：存在BG∶BM=n（n為正整數）的情況。

三、閱讀性理解題，加強學生的自學能力

數學課程標準重視培養學生的自學能力，強調學習方法的指導，重視發現、形成知識的過程。這就要求在學生獲取知識的過程中，教師不要灌輸式地把知識教給學生，而是引導學生通過自己思考或自學來獲取，將課本知識轉化為個人能力。因此，在教學中要借助閱讀理解題的訓練，以考查學生基礎概念、思維能力、運用數學語言能力等。

例3：對于平面圖形A，如果存在一個圓，使圖形A上的任意一點到圓心距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被這個圓所覆蓋。對于平面圖形A，如果存在兩個或兩個以上的圓，使圖形A上的任意一點到其中某個圓的圓心距離都不大于這個圓的半徑，則稱圖形A被多個圓所覆蓋。如圖4中的三角形被一個圓所覆蓋，圖中的四邊形被兩個圓所覆蓋。

回答下列問題：（1）邊長1㎝的正方形被一個半徑為r的圓覆蓋，r的最小值是 cm；

（2）邊長1㎝的等邊三角形被一個半徑為r的圓覆蓋，r的最小值是 cm；

（3）長2㎝，寬1㎝的矩形被兩個半徑都為r的圓所覆蓋，r的最小值是 cm，這兩個圓心距是 cm。

這類題型主要通過分析、比較、抽象和概括等數學手段，運用已學過的數學知識和數學方法，對知識進行歸納總結、遷移應用，要善于聯想猜想、借鑒創新，它能很好地培養學生的創新能力。

四、探索操作問題，強化學生的動手能力

數學課程標準指出：“動手實踐、自主探索與合作交流是學習數學的重要方式。”學生的創新意識是在主動探索知識的過程中得到培養的，學生的實踐能力是在運用知識解決問題的實踐活動中得到發展的。近幾年各地中考中這種動手型考題逐漸出現，所以有必要引起學生的重視。

例4： 如圖5，已知，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=5㎝，CD=6㎝，∠DCB=60°，∠ABC=90°。等邊三角形MPN（N為不動點）的邊長為acm，MN和直角梯形ABCD的底邊BC在一條直線上，NC=8cm。

（1）將直角梯形ABCD向左翻折180°，翻折一次得圖形1，翻折二次得圖形2，如此翻折下去，將直角梯形ABCD向左翻折兩次，如果此時等邊三角形的邊長a≥2㎝，這時兩圖形重疊部分的面積是多少？

（2）將直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形ABCD的面積，這時等邊三角形的邊長a至少應為多少？

（3）將直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形與等邊三角形重疊部分的面積等于直角梯形ABCD的面積的一半，這時等邊三角形的邊長a至少應為多少？

這類題主要以學生熟悉的、感興趣的圖形為背景提供觀察和操作的機會，讓學生通過動手操作，親自發現結果的準確性，在思想上和行為上逐步消除理論和實踐之間的阻隔，所以，我們平時在教學中要向學生提供充分從事數學活動的機會，積極引導學生從事實驗活動和實踐活動，培養學生樂于動手的意識。

（作者單位：江蘇省宜興市張澤中學）