矩陣濾波技術進展及其在陣列信號處理中的應用

曾曉晟++韓東（等）

摘 要：矩陣濾波技術可以用于陣列信號的預處理，實現增強通帶目標信號，抑制阻帶干擾的目的。文章在矩陣濾波器設計及應用方面開展了多年的研究。依據矩陣濾波技術的最新進展，文章總結了已有矩陣濾波設計方法，簡要敘述了最小二乘矩陣濾波器、零點約束矩陣濾波器、通帶響應誤差零點約束、阻帶響應整體約束、阻帶恒定響應抑制、近場干擾抑制等六種矩陣濾波器的設計方案及相應最優解。從矩陣濾波技術的理論體系完善和該技術的應用兩個方面，對該技術的發展方向做了討論。在使用陣列信號處理技術用于信息傳輸過程中，矩陣濾波技術可以為之提供技術支撐。

關鍵詞：矩陣濾波器；陣列信號處理；目標方位估計；空域矩陣濾波

1 引言

空域矩陣濾波技術是一種新興的陣元域數據預處理技術。通過對目標探測區域或方位設置通帶和阻帶，通過濾波器對通帶及阻帶的響應及響應誤差，設計最優化問題，即可實現空域矩陣濾波器對通阻帶不同的響應效果，使得陣元域數據通過空域矩陣濾波器后，通帶目標信號能最大程度無失真通過，同時使阻帶區域的干擾被最大程度的抑制。

空域矩陣濾波技術為實現陣元域的空域數據處理，需要通過設計矩陣濾波器來實現。矩陣濾波器不僅可以實現空域濾波的功能，也可將之用于設計數字濾波器，兩個應用方向雖然不同，但矩陣濾波器的設計方法基本相通。

在矩陣濾波器的設計中，Vaccaro將濾波器對通帶響應誤差、阻帶響應和過渡帶振幅作為目標函數及約束條件構造凸規劃問題設計濾波矩陣，并將該矩陣濾波器用于匹配場定位前的濾波，以及用于設計希爾伯特變換濾波器[1，2]；鄢社鋒和馬遠良等提出了廣義空域濾波的概念，構造凸規劃問題，并將其轉化為二階錐規劃問題，使用最優化軟件Sedumi求解，并將空域矩陣濾波器用于匹配場定位及平面波目標方位估計，使得波束形成獲得了超出陣元數目的目標分辨能力[3]；Zhu和Wang等利用半無限最優化（Semi-infinite optimization）設計濾波矩陣，該方法主要用于設計數字濾波器，實現低通、帶通或帶阻數字濾波功能，該最優化問題的約束條件針對連續的阻帶區間，并以積分的形式給出了通帶響應誤差，較離散形式的解更精確[4]；Macinnes利用偽逆（Pseudo inverse）設計矩陣濾波器，該方法能夠直接給出最小二乘解，并將該濾波器用于常規波束形成，同樣獲得了超過陣元數的目標分辨能力[5]。

韓東等[6-9]在矩陣濾波器設計方面做了大量的工作，給出了最小二乘矩陣濾波器的設計及誤差分析，提出了零點約束矩陣濾波器設計方法，提出了通帶響應誤差或阻帶響應整體約束矩陣濾波器設計方法，提出了近場強干擾抑制矩陣濾波器設計方法，加權最小二乘矩陣濾波器設計方法，并對這些方法的誤差進行了分析。這些方法都有閉式解，設計效率高，可用于實時陣列信號處理。

2 現有矩陣濾波器設計方案

線列陣陣元數目為N，假設具有相同的角頻率？棕0的D個窄帶平面波信號源，從D個方向？茲=[？茲1，？茲2，…，？茲D]入射到該基陣，則接收陣采樣信號表示為x（t）=A（？茲）s（t）+n（t）

式中 ， 是D個具有相同角頻率？棕0的信號源， 是陣列接收數據的背景噪聲，A（？茲）∈CN×D是由入射信號方向向量所構成的矩陣，A（？茲）=[a（？茲1），…，a（？茲i），…，a（？茲D）]， 是第i個信號的入射方向向量，（·）T表示矩陣轉置。

設計一個濾波器矩陣 對接收陣列數據進行陣元域濾波，濾波輸出為：y（t）=Hx（t）=HA（？茲）s（t）+Hn（t）

=AH（？茲）s（t）+nH（t）

濾波器方向向量的響應為：

為使該濾波器保留感興趣方向的信號，濾除不感興趣方向的噪聲，并且限制過渡帶的輸出響應，可通過對特定的方向？茲i設計不同的k（？茲i），1？燮i？燮D值實現。

2.1 最小二乘矩陣濾波器

定義由全空間方向向量構成的陣列流形為X=[a（？茲1），…，a（？茲M）]∈CN×M，期望響應向量構成的期望陣列流形為Y=[k（？茲1）a（？茲1），…，k（？茲M）a（？茲M）]∈CN×M。則可建立如下最優化問題設計最優空域矩陣濾波器：

（1）

可以通過建立Lagrange方程并通過求偏導數的方式，求得該問題的最優解：

（2）

即濾波器矩陣H等于期望陣列流形Y與原陣列流形X的右偽逆XH（XXH）-1的乘積。可以通過期望陣列流形中波達方向系數k（？茲j），1？燮j？燮M的設置得到不同類型的濾波器。

圖1 不同陣元數情況下矩陣濾波器效果

（左側為濾波器響應，右側為誤差響應）

2.2 零點約束矩陣濾波器

假設VP和VS=[VS1，VS2]分別為通帶陣列流形和（左右）阻帶陣列流形。

其中vpi、vsj分別是通帶、阻帶離散化后的第i、j個方向向量，P，S分別為相應的離散化方向向量數目。則可以建立如下的最優化問題，實現阻帶區域上某強干擾的抑制：

Subject to HVs=0N×S

該最優化問題的解為：

（3）

圖2 零點約束矩陣濾波器對干擾抑制效果

（左側為離散強干擾抑制效果，右側為扇面強噪聲抑制效果）

2.3 通帶響應誤差零點約束

為了能夠產生通帶信號無失真通過的效果，可以使濾波器對通帶響應的進行零誤差約束，在此情況下，求阻帶響應最小。

Subject to HVP-VP=0

該問題的最優解為：

（4）

2.4 阻帶響應整體約束

在整體劃分通帶和阻帶的情況下，可以讓阻帶的整體響應小于某設定值，也可以使通帶的整體響應誤差小于某設定值，通過調節約束值，就可以產生對阻帶內干擾的抑制調節作用。這里我們考慮阻帶整體響應約束濾波器：

Subject to

該最優化問題的最優解為：

（5）

其中 表示共軛轉置，（·）-1表示非奇異方陣求逆。確定Lagrange乘子■的方程為：

2.5 阻帶恒定響應抑制約束

前面所有的設計方法，都沒有產生一個恒定的阻帶響應抑制效果，通俗的講，就是產生“平”的阻帶。通過下面的設計，就可以實現這種效果：

這種矩陣濾波器沒有閉式解，其求解過程需要通過最優化軟件實現，在陣元數增多時，求解效率低，不利于實時信號處理。

圖4 阻帶響應整體約束和恒定阻帶抑制約束矩陣濾波器效果

（左側為濾波器響應，右側為誤差響應）

2.6 近場強干擾抑制

如果近場存在強干擾，則可以通過下面的最優化問題，抑制近場干擾對接收數據的影響：

Subject to HV0=0

該最優化問題的最優解為：

（6）

通過這種設計方法，可以產生在保留通帶情況下，抑制阻帶內某個方位的強干擾。

3 矩陣濾波器發展方向

矩陣濾波技術現已成功應用于平面波波束形成以及匹配場定位前的陣元域數據處理，但該技術還沒有形成完善的理論體系，與波束域空域濾波技術容易產生混淆，其應用領域也與波束域空域濾波有所不同，由于其自身特點，陣元域空域矩陣濾波技術可以與平面波波束形成技術結合，也可以與匹配場處理技術結合，可實現更高的定位精度，可實現超出陣元數目的目標探測、定位能力，有望解決拖曳陣聲納平臺輻射噪聲抑制問題。

以下給出了矩陣濾波技術的四個發展方向，對應于該技術理論體系的完善和應用領域的拓展。

1）連續積分形式空域矩陣濾波器設計

研究常規空域濾波方法，現有空域矩陣濾波技術都是針對離散化后空間方位設計的，設計效果與離散化間隔有關，當離散化間隔趨近于無窮小時，與連續積分形式所獲得的空域濾波器應具有相同的效果。研究連續積分形式所獲得的空域矩陣濾波器對通帶及阻帶的響應和響應誤差，用以設計空域矩陣濾波器，完善空域矩陣濾波器的理論體系。

2）特殊及任意陣形的空域矩陣濾波器設計

目前空域矩陣濾波器的設計都是集中在等間隔線列陣，空域矩陣濾波技術可以用于任意陣形的陣元域數據預處理，任意陣形，以及某些特殊的如圓陣、面陣、雙線陣等的空域矩陣濾波器設計需要從線列陣的設計方法上拓展，從而完善空域矩陣濾波器的設計。

3）陣元域空域矩陣濾波對信號檢測、波束形成影響研究

陣元域空域矩陣濾波器可以增加通帶信號的檢測能力，抑制阻帶區域的強噪聲干擾，但這種能力的提高及強干擾的抑制只是給出大致的效果，還沒有完全從數理角度給出理論說明。尤其對于陣元域空域矩陣濾波后，能實現超出陣元數的信號檢測能力，具體可以超出多少，還需要深入研究。

4）陣元域空域矩陣濾波器應用研究

陣元域的空域矩陣濾波器可以用于陣列波束形成前的空域濾波，也可以用于匹配場定位前的陣列數據預處理，亦可將空域矩陣濾波技術與波束形成技術結合，用于抑制陣列垂直面上的強噪聲干擾，同時保留水平面上的目標偵測能力，有望解決長久以來困擾拖曳陣聲納的平臺自噪聲干擾抑制問題。

4 結束語

綜上所述，文章對矩陣濾波技術進行了分析和闡述，幫助相關產業更好的應用，促進該項技術的快速發展。

參考文獻

[1]Vaccaro R J， Harrison B F. Optimal matrix-filter design[J]. IEEE Trans. Signal Processing， 1996， 44（3）： 705-709.

[2]Vaccaro R J， Chhetri A， Harrison B F. Matrix filter design for passive sonar interference suppression[J]. J. Acoustic Soc. Am.， 2004，115（6）： 3010-3020.

[3]鄢社鋒，侯朝煥，馬曉川. 矩陣空域預濾波目標方位估計[J]. 聲學學報， 2007，32（2）： 151-157.

[4]Zhu Z W ，Wang S， Leung H et al. Matrix filter design using semi-infinite programming with application to DOA estimation[J]. IEEE Trans. Signal Processing， 2000， 48（1）： 267-271.

[5]Macinnes C S. Source localization using subspace estimation and spatial filtering[J]. IEEE J. Ocean. Eng.， 2004，29（2）： 488-497.

[6]Han Dong，Zhang Xinhua. Optimal matrix filter design with application to filtering short data records[J]. IEEE Signal Processing Letters， 2010，17（5）： 521-524.

[7]Han Dong， Yin Junsong， Kang Chunyu， Zhang Xinhua. Optimal matrix filter design with controlled mean-square sidelobe level[J]. IET signal processing， 2011，5（3）： 306-312.

[8]韓東，章新華. 零點約束矩陣濾波設計[J]. 聲學學報， 2010，35（3）： 353-358.

[9]韓東，章新華. 寬帶最優空域矩陣濾波器設計[J]. 聲學學報，2011，36（4）： 405-411.

Subject to

該最優化問題的最優解為：

（5）

其中 表示共軛轉置，（·）-1表示非奇異方陣求逆。確定Lagrange乘子■的方程為：

2.5 阻帶恒定響應抑制約束

前面所有的設計方法，都沒有產生一個恒定的阻帶響應抑制效果，通俗的講，就是產生“平”的阻帶。通過下面的設計，就可以實現這種效果：

這種矩陣濾波器沒有閉式解，其求解過程需要通過最優化軟件實現，在陣元數增多時，求解效率低，不利于實時信號處理。

圖4 阻帶響應整體約束和恒定阻帶抑制約束矩陣濾波器效果

（左側為濾波器響應，右側為誤差響應）

2.6 近場強干擾抑制

如果近場存在強干擾，則可以通過下面的最優化問題，抑制近場干擾對接收數據的影響：

Subject to HV0=0

該最優化問題的最優解為：

（6）

通過這種設計方法，可以產生在保留通帶情況下，抑制阻帶內某個方位的強干擾。

3 矩陣濾波器發展方向

矩陣濾波技術現已成功應用于平面波波束形成以及匹配場定位前的陣元域數據處理，但該技術還沒有形成完善的理論體系，與波束域空域濾波技術容易產生混淆，其應用領域也與波束域空域濾波有所不同，由于其自身特點，陣元域空域矩陣濾波技術可以與平面波波束形成技術結合，也可以與匹配場處理技術結合，可實現更高的定位精度，可實現超出陣元數目的目標探測、定位能力，有望解決拖曳陣聲納平臺輻射噪聲抑制問題。

以下給出了矩陣濾波技術的四個發展方向，對應于該技術理論體系的完善和應用領域的拓展。

1）連續積分形式空域矩陣濾波器設計

研究常規空域濾波方法，現有空域矩陣濾波技術都是針對離散化后空間方位設計的，設計效果與離散化間隔有關，當離散化間隔趨近于無窮小時，與連續積分形式所獲得的空域濾波器應具有相同的效果。研究連續積分形式所獲得的空域矩陣濾波器對通帶及阻帶的響應和響應誤差，用以設計空域矩陣濾波器，完善空域矩陣濾波器的理論體系。

2）特殊及任意陣形的空域矩陣濾波器設計

目前空域矩陣濾波器的設計都是集中在等間隔線列陣，空域矩陣濾波技術可以用于任意陣形的陣元域數據預處理，任意陣形，以及某些特殊的如圓陣、面陣、雙線陣等的空域矩陣濾波器設計需要從線列陣的設計方法上拓展，從而完善空域矩陣濾波器的設計。

3）陣元域空域矩陣濾波對信號檢測、波束形成影響研究

陣元域空域矩陣濾波器可以增加通帶信號的檢測能力，抑制阻帶區域的強噪聲干擾，但這種能力的提高及強干擾的抑制只是給出大致的效果，還沒有完全從數理角度給出理論說明。尤其對于陣元域空域矩陣濾波后，能實現超出陣元數的信號檢測能力，具體可以超出多少，還需要深入研究。

4）陣元域空域矩陣濾波器應用研究

陣元域的空域矩陣濾波器可以用于陣列波束形成前的空域濾波，也可以用于匹配場定位前的陣列數據預處理，亦可將空域矩陣濾波技術與波束形成技術結合，用于抑制陣列垂直面上的強噪聲干擾，同時保留水平面上的目標偵測能力，有望解決長久以來困擾拖曳陣聲納的平臺自噪聲干擾抑制問題。

4 結束語

綜上所述，文章對矩陣濾波技術進行了分析和闡述，幫助相關產業更好的應用，促進該項技術的快速發展。

參考文獻

[1]Vaccaro R J， Harrison B F. Optimal matrix-filter design[J]. IEEE Trans. Signal Processing， 1996， 44（3）： 705-709.

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[4]Zhu Z W ，Wang S， Leung H et al. Matrix filter design using semi-infinite programming with application to DOA estimation[J]. IEEE Trans. Signal Processing， 2000， 48（1）： 267-271.

[5]Macinnes C S. Source localization using subspace estimation and spatial filtering[J]. IEEE J. Ocean. Eng.， 2004，29（2）： 488-497.

[6]Han Dong，Zhang Xinhua. Optimal matrix filter design with application to filtering short data records[J]. IEEE Signal Processing Letters， 2010，17（5）： 521-524.

[7]Han Dong， Yin Junsong， Kang Chunyu， Zhang Xinhua. Optimal matrix filter design with controlled mean-square sidelobe level[J]. IET signal processing， 2011，5（3）： 306-312.

[8]韓東，章新華. 零點約束矩陣濾波設計[J]. 聲學學報， 2010，35（3）： 353-358.

[9]韓東，章新華. 寬帶最優空域矩陣濾波器設計[J]. 聲學學報，2011，36（4）： 405-411.

Subject to

該最優化問題的最優解為：

（5）

其中 表示共軛轉置，（·）-1表示非奇異方陣求逆。確定Lagrange乘子■的方程為：

2.5 阻帶恒定響應抑制約束

前面所有的設計方法，都沒有產生一個恒定的阻帶響應抑制效果，通俗的講，就是產生“平”的阻帶。通過下面的設計，就可以實現這種效果：

這種矩陣濾波器沒有閉式解，其求解過程需要通過最優化軟件實現，在陣元數增多時，求解效率低，不利于實時信號處理。

圖4 阻帶響應整體約束和恒定阻帶抑制約束矩陣濾波器效果

（左側為濾波器響應，右側為誤差響應）

2.6 近場強干擾抑制

如果近場存在強干擾，則可以通過下面的最優化問題，抑制近場干擾對接收數據的影響：

Subject to HV0=0

該最優化問題的最優解為：

（6）

通過這種設計方法，可以產生在保留通帶情況下，抑制阻帶內某個方位的強干擾。

3 矩陣濾波器發展方向

矩陣濾波技術現已成功應用于平面波波束形成以及匹配場定位前的陣元域數據處理，但該技術還沒有形成完善的理論體系，與波束域空域濾波技術容易產生混淆，其應用領域也與波束域空域濾波有所不同，由于其自身特點，陣元域空域矩陣濾波技術可以與平面波波束形成技術結合，也可以與匹配場處理技術結合，可實現更高的定位精度，可實現超出陣元數目的目標探測、定位能力，有望解決拖曳陣聲納平臺輻射噪聲抑制問題。

以下給出了矩陣濾波技術的四個發展方向，對應于該技術理論體系的完善和應用領域的拓展。

1）連續積分形式空域矩陣濾波器設計

研究常規空域濾波方法，現有空域矩陣濾波技術都是針對離散化后空間方位設計的，設計效果與離散化間隔有關，當離散化間隔趨近于無窮小時，與連續積分形式所獲得的空域濾波器應具有相同的效果。研究連續積分形式所獲得的空域矩陣濾波器對通帶及阻帶的響應和響應誤差，用以設計空域矩陣濾波器，完善空域矩陣濾波器的理論體系。

2）特殊及任意陣形的空域矩陣濾波器設計

目前空域矩陣濾波器的設計都是集中在等間隔線列陣，空域矩陣濾波技術可以用于任意陣形的陣元域數據預處理，任意陣形，以及某些特殊的如圓陣、面陣、雙線陣等的空域矩陣濾波器設計需要從線列陣的設計方法上拓展，從而完善空域矩陣濾波器的設計。

3）陣元域空域矩陣濾波對信號檢測、波束形成影響研究

陣元域空域矩陣濾波器可以增加通帶信號的檢測能力，抑制阻帶區域的強噪聲干擾，但這種能力的提高及強干擾的抑制只是給出大致的效果，還沒有完全從數理角度給出理論說明。尤其對于陣元域空域矩陣濾波后，能實現超出陣元數的信號檢測能力，具體可以超出多少，還需要深入研究。

4）陣元域空域矩陣濾波器應用研究

陣元域的空域矩陣濾波器可以用于陣列波束形成前的空域濾波，也可以用于匹配場定位前的陣列數據預處理，亦可將空域矩陣濾波技術與波束形成技術結合，用于抑制陣列垂直面上的強噪聲干擾，同時保留水平面上的目標偵測能力，有望解決長久以來困擾拖曳陣聲納的平臺自噪聲干擾抑制問題。

4 結束語

綜上所述，文章對矩陣濾波技術進行了分析和闡述，幫助相關產業更好的應用，促進該項技術的快速發展。

參考文獻

[1]Vaccaro R J， Harrison B F. Optimal matrix-filter design[J]. IEEE Trans. Signal Processing， 1996， 44（3）： 705-709.

[2]Vaccaro R J， Chhetri A， Harrison B F. Matrix filter design for passive sonar interference suppression[J]. J. Acoustic Soc. Am.， 2004，115（6）： 3010-3020.

[3]鄢社鋒，侯朝煥，馬曉川. 矩陣空域預濾波目標方位估計[J]. 聲學學報， 2007，32（2）： 151-157.

[4]Zhu Z W ，Wang S， Leung H et al. Matrix filter design using semi-infinite programming with application to DOA estimation[J]. IEEE Trans. Signal Processing， 2000， 48（1）： 267-271.

[5]Macinnes C S. Source localization using subspace estimation and spatial filtering[J]. IEEE J. Ocean. Eng.， 2004，29（2）： 488-497.

[6]Han Dong，Zhang Xinhua. Optimal matrix filter design with application to filtering short data records[J]. IEEE Signal Processing Letters， 2010，17（5）： 521-524.

[7]Han Dong， Yin Junsong， Kang Chunyu， Zhang Xinhua. Optimal matrix filter design with controlled mean-square sidelobe level[J]. IET signal processing， 2011，5（3）： 306-312.

[8]韓東，章新華. 零點約束矩陣濾波設計[J]. 聲學學報， 2010，35（3）： 353-358.

[9]韓東，章新華. 寬帶最優空域矩陣濾波器設計[J]. 聲學學報，2011，36（4）： 405-411.