中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的反證法

摘 要： 反證法是在中學(xué)數(shù)學(xué)中常用到的一種非常重要的證明方法.文章介紹了反證法的基本概念、步驟、典型例題和使用條件.

關(guān)鍵詞： 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 反證法 使用條件

在生活中，我們都有這樣的常識，去掉大米中的砂粒，有兩種方法.一種是直接從大米中把砂粒一粒一粒地揀出來；一種是用間接的方法——淘洗法，把砂粒殘留下來.這兩種方法雖然形式不同，但結(jié)果卻是一樣的，都能達(dá)到去掉砂粒的目的.有時用直接方法很困難，而用間接方法卻容易得多.牛頓曾說：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦?”當(dāng)一些命題不易從正面直接證明時，就可考慮用反證法.

一、反證法的基本概念

1.反證法的定義

法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪對反證法的實(shí)質(zhì)做了如下概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾.”這是對反證法的極好概括.其實(shí)反證法也稱作歸謬法。反證法適合一些正面證明比較困難，但是否定則比較簡單的題目，在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用較為廣泛，在解決一些較難問題的時候，反證法能體現(xiàn)其優(yōu)越性.

2.反證法的基本思想

反證法的基本思想就是否定之否定，這種基本思想可以用下面的公式表示：

“否定→推理→矛盾→肯定”，即從否定結(jié)論開始，經(jīng)過正確無誤的推理導(dǎo)致邏輯矛盾，達(dá)到新的否定.

3.反證法的邏輯依據(jù)

通過以上三個步驟，為什么能肯定原命題正確呢？其邏輯根據(jù)就在于形成邏輯的兩個基本規(guī)律：“排中律”和“矛盾律”.在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”.反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假.再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真.所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的.

二、反證法的步驟

用反證法證題一般分為三個步驟：

1.反設(shè).假設(shè)原命題的結(jié)論不成立；

2.歸謬.從這個結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；

3.結(jié)論.由矛盾判定假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論正確.

即：否定結(jié)論→推導(dǎo)出矛盾→結(jié)論成立.

三、反證法的種類

1.歸謬反證.結(jié)論的反面只有一種情形，只要把它駁倒，就能達(dá)到證題目的.

2.窮舉反證.結(jié)論的反面不止一種情形，必須將它們逐一駁倒，才能達(dá)到證題目的.

四、反證法的典型例題

例1：已知：AB，CD是圓內(nèi)非直徑的倆弦（如圖），求證：AB與CD不能互相平分.

證明：假設(shè)AB與CD互相平分與點(diǎn)M，則由已知條件AB，CD均非圓O直徑，可以判定M不是圓心O，聯(lián)結(jié)OA，OB，OM.

因?yàn)镺A=OB，M是AB中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥AB（等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊）.同理可得：OM⊥CD，從而過點(diǎn)M有兩條直線AB，CD都垂直于OM.這與已知的定理相矛盾.故AB與CD不能互相平分.

五、反證法的使用條件

任何方法都有它成立的條件，也都有它適用的范圍.離開了條件超越了范圍就會犯錯誤，同樣，問題解決也就沒有那么容易.因此，我們應(yīng)該學(xué)會正確使用反證法解題.

雖然用反證法證明，邏輯推理嚴(yán)謹(jǐn)而清晰，論證自然流暢，可謂是干凈利落，快速而可行，是一種很積極的證明方法，而且用反證法證題還有很多優(yōu)點(diǎn)：如思想選擇的余地大、推理方便等.但是并不是什么題目都適合用反證法解決.

例2：如果對任何正數(shù)p，二次方程ax+bx+c+p=0的兩個根是正實(shí)數(shù)，則系數(shù)a=0，試證之.

分析：看了本題的證明過程似乎很合理，但其實(shí)第三步，即肯定原結(jié)論成立的論證錯了.因?yàn)椋绢}的題設(shè)條件為對任意正數(shù)p，y=0有兩個正實(shí)數(shù)根，結(jié)論是a=0，但本題的題設(shè)條件與結(jié)論是矛盾的；當(dāng)a=0時，二次方程就變成了一次方程bx+c+p=0，此一次方程在b≠0時，對于任何正數(shù)p，它只有一個根；在b=0時，僅當(dāng)p=-c>0的條件下，它有無數(shù)個根，否則無根，但總之不會有兩個根.題設(shè)條件和結(jié)論矛盾.因此，本題不能反證法來處理.若原題改為“如果對于任何正數(shù)p，只存在正實(shí)根，則系數(shù)a=0”，就能用反證法證明.

因此，對于下列命題，較適用反證法解決.

（1）至多至少型命題；（2）唯一性命題；（3）否定型命題；（4）明顯型命題；（5）此前無定理可以引用的命題.

例3：設(shè)a，b都是正數(shù)，求證：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b.

證明：反設(shè)ln（a/b）≤（a-b）/b不成立，便有l(wèi)n（a/b）≥（a-b）/b，由對稱性知：ln（b/a）≥（b-a）/a，相加得：ln（a/b）+ln（b/a）>（a-b）/b+（b-a）/a

即：0>（a-b）/a≥0這一矛盾說明ln（a/b）≤（a-b）/b

即：ln（b/a）≥（a-b）/b

交換位置：ln（a/b）≥（a-b）/b

合并得：（a-b）/a≤ln（a/b）≤（a-b）/b

反證法是數(shù)學(xué)中的一種重要的證明方法.牛頓曾說：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦?”它是從命題的否定結(jié)論出發(fā)，通過正確的邏輯定理推理導(dǎo)出矛盾，從而證明原命題的正確性的一種重要方法.反證法之所以有效是因?yàn)樗鼘Y(jié)論的否定實(shí)際上增加了論證的條件，多一個條件，這對發(fā)現(xiàn)正確的解題思路是有幫助的.對于具體、簡單的命題；或者直接證明難以下手的命題，改變其思維方向，通過逆向思維，從結(jié)論入手進(jìn)行反面思考，問題就能迎刃而解.在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，反證法已成為最常用和最有效的解決問題的方法之一.

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