在方法思考中提煉數學思想方法

摘 要： 數學思想方法的提煉能使學生提高數學思維水平，建立科學的數學觀念。數形結合思想能優化解題途徑，假設思想能豐富解題思路。

關鍵詞： 數學思想方法 數形結合 假設思想 解題途徑 解題思路

學生解決某一問題時需要選擇適合的方法，用了某種方法解決問題后，如果教師能引導學生分析整理自己所使用的方法，并概括總結方法的運用過程，提煉數學思想方法，就能顯著提高學生解決問題的能力。下面兩種數學思想方法是學生解決問題過程中經常要用的，教師在教學中要經常滲透和運用，并有意引導學生加以總結，讓學生融會貫通。

一、運用數形結合優化解題途徑

把數量關系的研究轉化成圖形關系的研究，或者把圖形性質的研究轉化成數量關系的研究，這種“數”與“型”的相互轉化的解題策略，就是數形結合的思想。華羅庚說過：數無形時少直覺，形無數時難入微。數形結合是連接“數”與“形”的“橋”，是一種非常重要的數學思想。華羅庚先生精準生動地詮釋了“數形結合”的意義。在小學數學教學中，我常利用數形結合優化解題途徑，并有意識地讓學生掌握這種方法。

（一）以“形”助“數”

小學生的空間想象能力存在一定的局限性，有時，僅僅依靠在頭腦中的想象，學生考慮問題往往會不周密，從而影響解題的正確性。這時，教師可以恰當地引導學生畫一畫，以畫促思，更好地幫助學生解題。比如蘋果樹有56棵，比梨樹的棵數的3倍少4棵，梨樹有多少棵？這樣逆向思維的問題，學生容易理解錯誤，通過學生畫線段圖，觀察圖中線段各部分容易比較得出：如果蘋果樹增加少的4棵就剛好是梨樹的4倍，梨樹的棵數就容易求出：（56+4）÷3=20（棵）。

如：用24dm×9.2dm的長方形布料制作底為40cm，高為15cm的三角巾，最多可以做幾條？有的學生采用大面積除以小面積的解法得出結果為73條，這時就需要作出示意圖，長方形面積表示布料總面積，長方形內畫小長方形，小長方形又分成兩個三角形，三角形表示三角巾，把題意表示在圖中，學生容易明白實際分割時長方形的長24dm是三角巾底的6倍，就是每行可以分成6條，而寬9.2dm是三角巾高15cm的6倍多，根據實際要用去尾法，只能取6，而列式：（240÷40）×（920÷15）×2≈6×6×2=72（條）。因為這個問題不適合把余下的布料拼做三角巾，所以不適合用大面積除以小面積。又如：讓學生通過把一個圖形當成整體1，再進行平均分，理解分數和小數的意義。比較同分子分數的大小也需要通過畫圖加強直觀，便于理解。通過數形結合，讓抽象的數量關系、解題思路形象地外顯了，學生易于理解。

在統計中，通過收集整理數據，面對繁多的數據，要分析問題需要通過把統計表變換成統計圖。需要看出各數據多少，比較各數據多少，通過畫條形統計圖就能一目了然。需要反映事情發展變化趨勢的畫折線統計圖，從圖中這些折線的形狀變化就可以看出數據的變化情況。

（二）以“數”解“形”

如巧數下列圖形共幾個長方形？

可以讓學生通過找規律，發現長方形個數與大長方形的長與寬分成的段數有關，長分成4段，寬分成2段，通過探究得出長方形個數計算公式：（4+3+2+1）×（2+1）=30（個）。在數學教學中充分利用數形結合，提高學生學習的興趣，調動思維的積極性，使抽象的問題形象化，從而使數學教學收到事半功倍的效果。如長方形周長、面積的計算，長方體、圓柱體體積表面積的計算，數線段、數角等。比如同樣一條繩子圍成一個長方形和一個正方形，哪個面積大？比較兩個圖形面積的大小本來是幾何問題，為了研究出規律必須使用公式轉化成研究“在周長相同的情況下，長方形和正方形哪個面積大？必須根據已知的周長假設出長方形的長和寬的幾種不同情況，通過計算比較幾種不同情況不同計算結果，得出正方形的面積大，并且在推算比較過程中發現長和寬越接近面積越大。

二、運用假設思想豐富解題思路

所謂假設法，就是假設題中的某幾個數量相等，或假設要求的一個未知量是已知數量，把復雜問題化為簡單問題處理，再進行推算，以求出原題的答案。假設思想方法是一種重要的數學思維方法，學生掌握它能使要解決的問題更形象、更具體，從而豐富解題的思路。假設有條件假設、問題假設、單位假設、情景假設。條件假設：如：有兩堆煤共90噸，運走甲堆的和乙堆的共26噸，那么甲乙兩堆煤原來多少噸？假設乙堆也運走，那么共運走（90×）=30（噸），把這種假設的情形與題中已知情形作出比較，發現多了（30-26=）4噸。造成這個差的原因是因為假設成乙堆也運走了，而實際乙堆才運走，多運了（-）=，也就是乙堆的就是相差的4噸，這樣就能求出乙堆：（90×-26）÷（-）=48（噸），甲堆就是90-48=42（噸）。情景假設：如王師傅負責承運100塊玻璃，每塊運費0.8元，如果損壞1塊，不但沒有運費，還要賠償1.2元。玻璃運到后，王師傅得到運費76元，承運中損壞幾塊玻璃？假設：可以假設100塊全部沒損壞，那么就可到運費100×0.8=80（元），與實際得到的運費差了80-76=4（元），那是因為把每塊損壞的多算了1.2+0.8=2（元），即可算得損壞了4÷2=2（塊）。問題假設：假設損壞了x元，列方程式（100-x）×0.8-1.2x=76。單位假設：一項工程由甲單獨做需要10天完成，由乙單獨做需要15天完成，如果由甲乙合作需要多少天完成？不知道工作總量，可以把工作總量假設成單位1，根據數量關系，列式1÷（+）=6（天）。假設思想方法在小學應用題解答中應用較廣泛。因此，教師在教學用算術方法解應用題時，應有意識地經常地予以適當訓練，提高學生的解題能力和智力水平。