“常微分方程”教學改革初探

摘 要： 常微分方程是數學專業的核心基礎課程之一。本文針對常微分方程教學改革的必要性，提出了幾點改革的建議，以提高課堂教學質量，培養適應新時期發展需要的大學生。

關鍵詞： 常微分方程 教學改革 基礎課程

常微分方程是數學專業的核心基礎課程之一。它既是數學分析的延續，又是偏微分方程、數學建模等課程的基礎。常微分方程的重要性在于它是自然科學和社會科學中精確表述基本定律和各種問題的根本工具之一，只要根據實際背景列出微分方程，并（數值地或定性地）求出方程的解，人們就能預見事情的變化情況。于是，微分方程成為人們認識、改造自然和社會的有力工具，也是數學聯系實際的主要途徑之一。因此，微分方程對本科數學的重要性顯而易見。

1.教學改革的必要性

目前許多高等院校在“常微分方程”的教學中，或多或少地存在如下問題：現在各高校普遍使用的常微分方程教材往往幾年、乃至十幾年不變，課程內容跟不上時代步伐。課程體系仍立足于常微分方程的基本知識及相關課程的縱向發展，忽視學科之間的橫向聯系。教學中，多年采用“教師+黑板”、“我講你聽”的填鴨式單向教學模式，以教師為中心，注重理論知識的傳授，忽視學生學習能力、研究能力和實踐能力的培養。

近幾十年來動力系統及非線性科學得到了迅猛發展，極大地促進了力學、物理、生物、地學、機械工程、通信工程、電力工程和航空航天技術的發展。這對動力系統及非線性科學起奠基性作用的課程“常微分方程”提出了新的要求。如何用新的思路改進教學方法，如何將新知識新方法注入教學中，如何將時代的新要求貫穿教學始終，成了現代“常微分方程”課程教學面臨的新課題[5]。

2.關于教學改革的幾點建議

2.1.教學模式改革

微分方程有兩個“端點”，一個端點是實際背景，另一個端點是實際應用。離開了這兩個端點，微分方程就成了無水之源，無本之木。因此，我們要結合新的教學實際，改革教學模式，不斷提高教學質量。首先，要抓好基本理論和基本技能（解題技巧）的教學工作。理論教學必須有一定的高度和深度。這一部分以課堂教學為主。其次，通過習題課消化理解并加深理論知識和基本技能，從而提升理論水平。針對不同層次的學生進行分類指導，特別是要給學習成績比較突出的同學留出學習空間，而給學習相對薄弱的同學及時補習，達到共同提高的目的。再次，盡可能在每一部分的引入中，以切實可行的實際問題為背景引導出所需要的微分方程，讓學生親身體會方程的來源。同時，結合數學建模，在教學過程中適當加入模型分析，提高學生的學習興趣，避免枯燥地講授理論和繁雜的數學計算。最后，對學有余力的同學，組織學術研討班，邀情有學術造詣的老師作指導，選擇合適的課題，進行學術研討，開展大學生科研立項，撰寫學術小論文，進而充分發揮學生的潛能和優勢，調動學生的學習積極性，提高教學質量。

2.2.教學內容改革

為了照顧不同層次的學生，提高教學質量，增強教學效果，對教材內容（以王高雄等，常微分方程，高等教育出版社（第三版）為例）可以作如下處理：

2.2.1優化組合章節內容。將方法相同或相似的內容安排在一起，避免相關內容的重復。講解第五章時，先講微分方程組（第五章）后講高階微分方程（第四章），把高階微分方程視為線性方程組的特例，這就使得第四章的許多定理和公式變成第五章相應定理和公式的推論而無需證明。

2.2.2結合教學模式的設計，合理安排教學模塊。一是理論模塊。這些理論除了第三章一階微分方程的存在定理，第四章線性方程的解的結構理論，第五章線性方程組的解的結構理論，以及第六章解的穩定性理論外，有些理論是分散在各章的，應注意及時整理總結。二是解方程模塊，這是理論模塊的落腳點之一，其內容分散在各章中，類型多，內容雜，要及時歸類，并加強訓練。三是應用模塊。每章或某一節的引入中除通過實際問題建立模型外，如捕魚問題、技術革命問題、單擺問題、二體問題、綜合國力問題和生物種群問題等，還可向學生講清實際背景，然后列出方程，用學過的微分方程知識進行求解，再返回到實際問題中，解釋某些實際現象。四是學術模塊。在教學的中間環節穿插一些通俗性學術報告，內容包括請專家介紹本學科前沿工作、發展動態和趨勢；學生論文報告會等。

2.2.3抓住微分方程的數學思想。常微分方程的中心是解方程，但是其方程的類型很繁雜，許多同學難以把握。教師可有意識地挖掘理論知識背后的數學思想，將理論知識進一步提煉、升華，并將許多知識有機地結合起來。

2.3教學手段和教學方式改革

2.3.1在數學教學中，我們采用以“黑板+粉筆”為主的教學手段，這種教學手段靈活性強，可隨時根據學生的情況進行調整，并能增強師生的互動性，推導過程能吸引學生的注意力，引導學生思考。由于微分方程與實際問題的聯系比較密切，凡問題的引入、背景分析、定理和定義的表述，以及例題和習題都可用多媒體教學，凡定理的證明和例題講解用黑板。

2.3.2充分利用精品課程網站。學生可以根據網上材料進行自學，也可以就自己感興趣的問題展開討論。這樣打破了傳統的教學方式，拓展了教學空間和學習空間。

2.3.3采用師生互動式教學。倡導啟發式教學，在學生學習的關鍵環節或遇到困難時，加以引導，調動并發揮學生的學習主動性，提高其分析問題和解決問題的能力。在授課過程中留一些有一定難度的思考題，在下次上課時讓學生發表不同的意見與解題思路，老師分別給予講評，并記入平時成績。

2.4評價機制改革

評價機制是學習的向導，客觀的評價機制對于調動學生的學習積極性，挖掘學習潛能具有很強的指導作用，構建了“期末為主、重視平時”的多元化、靈活性評估機制。期末考試采用閉卷筆試的形式，占總成績的60%。在考核內容上突出三點：一是對基本概念的掌握程度；二是分析問題與解決問題的綜合能力；三是解方程的技巧。平時成績占總成績的40%，包括出勤率、上課紀律、上課回答問題情況、作業情況等。

新世紀，我們需要培養一批能夠在動力系統及非線性科學領域不斷開拓前行、能夠將這方面的新理論新方法同工程實踐相結合的人才。這將是新世紀理科數學基地人才培養的任務。為了更好地完成這個任務，高校教師必須在教學活動中敢于改革和創新，培養出社會需要的人才。

參考文獻：

[1]王高雄等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社（第三版），2006.

[2]化存才等.常微分方程解法與建模應用選講[M].北京：科學出版社，2009.

[3]樓紅衛等.常微分方程[M].上海：復旦大學出版社，2007.

[4]儲亞偉，朱芙.高師本科常微分方程教學改革的探討[J].阜陽師范學院學報（自然科學版），2008，25（3）：70-73.

[5]張偉年.本科數學專業常微分課程教學改革與實踐[J].高等理科教育，2003（1）：19-21.

[6]藍師義.常微分方程教學改革的探索[J].廣西民族大學學報（自然科學版），2009，15（3）：102-104.

[7]劉會民等.“常微分方程”課程教學模式的改革與探索[J].數學教育學報，2006，15（1）：72-74.