常見的幾種簡單的微分方程的解法

摘 要： 微分方程是現代數學的一個重要分支，是人們解決各種實際問題的有效工具，掌握微分方程的求解，能為后續的力學、電力和專業課程打下堅實的基礎.本文介紹了幾種常見的簡單微分方程的解法.

關鍵詞： 微分方程 解法 定義

一、微分方程的定義

凡是含有未知函數的導數（或微分）的方程，稱為微分方程.

微分方程的解：能使微分方程成為恒等式的函數y=f（x），稱為微分方程的解.

微分方程分為常微分方程和偏微分方程.

常微分方程的定義：如果在一個微分方程中，自變量的個數只有一個，則這樣的微分方程稱為常微分方程.

二、常見的幾種簡單的微分方程的解法

1.可分離變量的微分方程=f（x）·g（y）的解法：分離變量法.

解題步驟：①分離變量=f（x）dx；

2.可化為分離變量的微分方程的方程+p（x）·q（y）=0的解題步驟：

①移項=p（x）·q（y）（化為可分離變量的微分方程）；

②用分離變量法得微分方程的通解.

3.一階線性齊次微分方程+p（x）y=0的解法：

（方法一）這是一個可化為分離變量的微分方程的方程，故可用分離變量法.

（方法二）公式法

只需代入通解公式y=ce計算一下即可.

4.一階線性非齊次微分方程+p（x）y=q（x）（q（x）≠0）的解法：

（方法一）公式法

（方法二）常數變易法：把齊次線性方程通解中的任意常數變易為待定函數c（x），使其滿足非齊次線性微分方程，需求出c（x），從而得到非齊次微分方程通解的方法稱為常數變易法.具體步驟：

①求出一階線性齊次微分方程的通解

三、結論

以上是幾種較為簡單的微分方程的解法，掌握這些解法的關鍵是記住各種方程的特征，并采用相應的方法解決.微分方程的熟練求解，能為專業課程及力學、電學的學習等打下堅實的基礎.

參考文獻：

[1]常微分方程.東北師大數學系微分方程教研室編.高等教育出版社，1985.2.

[2]沈聰主編.高等數學.首都經濟貿易大學出版社，2010.5.

[3]趙延玲主編.高等數學.經濟日報出版社，2009.6.

[4]薛桂蘭，牛莉主編.高等數學學習指導.高等教育出版社，2005.6.