求變量取值范圍的基本思路

求一個(gè)變量的取值范圍或最大（小）值，是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一類常見(jiàn)的問(wèn)題.該類問(wèn)題在各省市的高考試題中出現(xiàn)的頻率較高，許多省市的高考試卷中涉及該類問(wèn)題的題目所占的分值，幾乎接近卷面總分的30%。因此，解答好該類題目對(duì)高考數(shù)學(xué)取得好成績(jī)顯得尤為重要。

這里所說(shuō)的變量往往是一個(gè)變化的實(shí)數(shù)。它還可以用其他方式體現(xiàn)出來(lái)，如代數(shù)式、距離、斜率、面積、體積、角，等等。

求一個(gè)變量的取值范圍和求它的最大（小）值的思路基本上是相同的。如果能求出一個(gè)變量的取值范圍，則很容易得到它的最大（小）值。

求一個(gè)變量的取值范圍或最大（小）值的問(wèn)題往往可以從以下三個(gè)角度分析和解決。

一、幾何法

幾何法即把所求問(wèn)題中的條件和結(jié)論都理解成幾何圖形或直角坐標(biāo)平面中的某些量，然后利用圖形中的所求變量的變化規(guī)律，得到所求變量的取值范圍。例如現(xiàn)行中學(xué)教材中的線性規(guī)劃問(wèn)題本質(zhì)上就是把二元一次不等式組表示為直角坐標(biāo)系中相應(yīng)的平面區(qū)域，把線性目標(biāo)函數(shù)理解為其相應(yīng)的直線在坐標(biāo)軸上的截距加以解決。

例1：在（0，2π）內(nèi)，求使sinx>cosx成立x的取值范圍。

分析：解決該問(wèn)題只需要把函數(shù)y=sinx和y=cosx在（0，2π）內(nèi)的圖像畫(huà)出來(lái)，通過(guò)觀察圖像即可得到x的取值范圍。

例2：求拋物線y=-x上的點(diǎn)到直線：4x+3y-8=0距離的最小值。

分析：在直角坐標(biāo)系中分別畫(huà)出拋物線y=-x和直線4x+3y-8=0，通過(guò)圖形容易得到和拋物線y=-x相切且與直線4x+3y-8=0平行的切線的切點(diǎn)到該直線的距離最小。利用導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求得。

二、不等式法

不等式法就是如果能利用題目的條件得到所求變量的不等式或不等式組，那么該不等式或不等式組的解集即為所求變量的取值范圍。

例3：函數(shù)f（x）=ax+3x-x-1在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，求a的取值范圍。

分析：函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上是減函數(shù)，即f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）≤0在（-∞，+∞）上恒成立。而f′（x）≤0是關(guān)于x的二次不等式，要使它對(duì)于任意的x都成立，就容易得到一個(gè)關(guān)于a的不等式組，那么該不等式組的解集即為a的取值范圍。

例4：已知直線l：y=kx+1與雙曲線：2x-y=1右支交于不同的兩點(diǎn)，求k的取值范圍。

分析：聯(lián)立y=kx+1與2x-y=1消去y得到一個(gè)x的二次方程，這個(gè)方程的根就是兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，而且它們都大于零，根據(jù)二次方程的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，就容易得到一個(gè)k的不等式組，它的解集即為所求k的取值范圍。

三、函數(shù)法

所謂函數(shù)法就是首先建立一個(gè)函數(shù)模型，即根據(jù)題目條件把所求的變量表示為另一個(gè)變量的函數(shù)，那么這個(gè)函數(shù)的值域就是所求變量的取值范圍，函數(shù)的最大（小）值就是所求變量的最大（小）值。

例5：已知直線l過(guò)點(diǎn)P（2，1），且交x正半軸于點(diǎn)A，交y正半軸于點(diǎn)B，△AOB的面積為S，試求S的最小值，并求出此時(shí)直線l的方程。

分析：因?yàn)橹本€l過(guò)定點(diǎn)P（2，1），l是隨著它的斜率的變化而變化的，所以△AOB的面積就是隨著直線l的斜率變化而變化的。通過(guò)設(shè)l的斜率，把l的方程表示出來(lái)，從而分別得到點(diǎn)A的橫坐標(biāo)與點(diǎn)B的縱坐標(biāo)與l的斜率的關(guān)系，然后把直角△AOB的面積表示為直線l斜率的函數(shù)。最后利用基本不等式或者導(dǎo)數(shù)的方法求該函數(shù)的最小值即可。

例6：用邊長(zhǎng)為48 cm的正方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒時(shí)，在鐵皮的四角各截去一個(gè)面積相等的小正方形，然后把四邊折起，就能焊成一個(gè)長(zhǎng)方體型鐵盒，求所做的鐵盒容積最大值。

分析：因?yàn)樗箝L(zhǎng)方體型鐵盒的容積是隨著被截去的小正方形的邊長(zhǎng)的變化而變化的，所以可設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)，利用長(zhǎng)方形的體積公式，把鐵盒的容積表示成小正方形邊長(zhǎng)的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)的方法求該函數(shù)的最大值即可。

當(dāng)然，以上僅僅給出了求一個(gè)變量的取值范圍或最大（小）值的基本思路，要具體解決該類問(wèn)題還需要具備一定的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法才能完成。

或許，求一個(gè)變量的取值范圍還有其他方法，但是現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)中該類問(wèn)題大都可以從以上三個(gè)角度之一分析解決。