巧借反例法提高教學實效

摘 要： 本文主要探討反例在中學數學教學中的構造模式及其重要性.在數學教學中利用反例能夠有效地誘發學生的求知欲，促使其主動積極地學習，對基礎知識有更進一步的理解.不僅有利于學生全面正確地理解、掌握數學的基本概念和基本定理，而且促使學生養成善于發現問題、糾正錯誤的習慣，更能培養學生的發散思維和創造性思維.

關鍵詞： 反例 思維判斷力 邏輯規律 特殊值 數學教學

美國數學家蓋爾鮑姆說：“數學由兩大類——證明和反例組成，而數學發現也是朝著兩個主要目標——提出證明和構造反例.”提出證明，就是根據已知概念和真命題遵照邏輯規律運用正確邏輯方法去證明某個命題的真實性，構造反例，就是為了證明某個命題不真，構造一個且只需構造—個符合于題設條件但命題結論不成立的特例，即反例.本文從數學教學的角度討論反例的作用.

一、培養獨立的思維判斷力，增強趣味性

在中學數學教學中教師不僅要教給學生數學知識，更重要的是要培養學生的能力，尤其是培養學生的創造性思維能力.思維屬于認識的高級階段，要達到培養學生創造性思維能力的目的，必須重視構造反例這一重要途徑.構造反例是一個快速而無規則的探索性過程，它有利于活躍學生的思維，廣開學生的思路，同時也可培養學生從多方面、多角度認識問題和解決問題的習慣，有效地增強學生思維的敏捷性，逐步增強獨立的思維判斷力.

在教學過程中，適時舉一些數學史上的著名反例，不但能培養學生的學習興趣，激發學生的學習熱情，而且對學生形成概念、系統掌握知識有很大的幫助.如在講無理數概念時，可以談談數的概念的形成和發展，特別是導致數學的第一次危機的反例，古希臘畢達哥斯學派的希帕薩斯發現正方形一邊與對角線不能用兩整數之比表示，嚴重沖擊了當時希臘人的信條——數是一切事物的本質，整個有規定的宇宙的組織，就是數及數的關系的和諧系統.“宇宙萬物只能歸結為整數，最多也只能歸結為兩整數比”.希帕薩斯因此而被拋入大海，成為數學史上的一大悲劇.這一反例的發現，使希薩斯的名字，永遠被銘刻在神奇的數學王國的宮墻上.接著敘述無理數數，學生的注意力自然很集中.

又如學習數學歸納法時，必須指出：不完全歸納推理，只是給人們提供了一種猜想，其真實性必須通過論證肯定或否定.由于反例在否定命題時具有巨大的作用，因此利用反例可以輕而易舉地否定一些著名命題.1640年法國數學家費爾瑪猜測所有形如Fn=2+1（n為非負整數）型的數都是素數，驗證F=3，F=5，F=17，F=257，F=65537都是素數，因此，當時誰都不知道費爾瑪的猜測是否正確，直到1732年，瑞士大數學家歐拉指出F5=641×6700417，從而一舉推翻了費爾瑪猜想.

二、構造獨特的解題模式，尋找矛盾

構造反例在證偽過程中起到了巨大的作用，而且構造反例是培養學生創造性思維能力的重要途徑之一，因此教學中應予以足夠的重視.如何構造反例呢？選擇特殊值、極端情形或相反情形，常常可使所舉反例簡潔且易于構造，—般構造反例解題的模式是：

問題條件特點解析→（選擇特殊值極端相反情形）→構造反例→（得出結論）→原命題不真.

我們經常使用的反證法，是首先假定所要證明的結論不成立，然后在這個假定下進行一系列符合邏輯的推理，直到得出一個矛盾的結論，并據此推翻原先的假定，從而確認所要證明的結論成立.其中，尋找矛盾是證題過程的核心所在，而揭露矛盾的一個有效方法，就是構造反例.

所以在由這些線段所組成的三角形中必有銳角三角形.

三、探尋問題的錯誤所在，深化理解

在中學數學教學過程中，教師不僅要能夠運用正確的例子深刻詮釋知識點，而且要能夠運用一些恰當的反例從另一個角度緊抓住概念或規則的本質，彌補正面教學的不足，進而加深學生對知識的理解，讓他們留有深刻的印象.比如，中學數學知識中函數的單調性，數列極限的運算法則，復數等概念和運算法則等，對于剛接觸的人來說，對它們的認知常常模糊不清.在教學這些知識點的zgAm5RVtmDtH0eSd+/kNaw==時候，假如從正面闡述，那么學生就很難理解，如果結合一些反例論述，效果就會事半功倍.

（一）有利于幫助掌握定理、公式和法則

例3：若a=A，b=B，那么（a+b）=A+B，反之，可否成立？

解析：反之不成立.如果直接說明難以入手，而舉出反例論述，就可以使學生記憶深深刻.例如：a=+n，b=-n，顯然（a+b）存在，但a和b就都不存在了.

例4：二項式定理的教學中，剛接觸者常習慣于記憶通項公式T=Cxa對于形似（3a-4b）的式子，因而認為它的第四項系數是C，這顯然是“誤入歧途”，實際上應該是C3·（-4）.

（二）有利于正確指出錯誤

對學生解題中的錯誤必須及時予以糾正.偶然性的錯誤，要求學生仔細思考，讓他們自己作出改正或補充；原則性的錯誤，要求學生明白錯誤的原因，直到弄懂為止，而指出錯誤最為有效的辦法之一便是舉出反例.

例5：在平面幾何中，“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形”這個定理中“平行”二字常常被“忽略不計”.這也可舉一個反例，舉一個四邊形ABCD，兩對角線AC⊥BD，但要證明它不是菱形，這樣就可以促使學生深入理解定理中“平行”二字的重要性.

又如，設橢圓的中心是坐標原點，長軸在x軸上，離心率e=/2，已知點P（0，3/2）到這個橢圓上的點的最遠的距離是.求這個橢圓的方程，并求橢圓上到點P的距離等于的點的坐標.

這是一道高考題，解法頗多，在此我們不加以贅述.下面用反例法剖析一種常見的解題錯誤.

反例在駁斥謬論、揭露詭辯、修正錯誤上有著重要作用，它有助于學生正確掌握題解方法.面對一個問題的解答，可運用反例檢驗答案是否正確，假如發現不對，就能夠引導我們探尋錯誤的原因.

式并不等價，盡管滿足前者時，也能滿足后者，但滿足后者時，卻不能滿足前者，所以是錯誤的，答案應為-5

在當前的中學數學教學中，—般對提出證明比較重視，而對構造反例有所忽視.從思維方法來看，構造反例法是較高層次的思維方法之一，也是發現數學真理的一種重要手段，對于激發學生的學習興趣、培養學生的發散性思維起著不可估量的作用.所以，在教學過程中，我們應重視反例法的運用.

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