基于RTK的校園高程異常值分布規律實驗與建模

摘 要：衛星定位方便快捷且精度高，為了在校園里可以用RTK的測量手段代替傳統四等或等外水準測量，需準確獲取校園高程異常值分布情況。該文主要通過均勻分布在學校若干個已知高程異常值的點來建立模型，從而擬合出校園整體高程異常分布情況。主要分析比較了平面擬合模型、二次曲面擬合模型以及MATLAB曲面擬合模型。實驗表明二次曲面擬合模型更加適合本校園的高程異常分布規律，其擬合精度內符合達到10.7 mm，外符合17.4 mm，能夠滿足普通水準測量需要。

關鍵詞：RTK 高程異常 平面擬合 二次曲面擬合 Matlab曲面擬合

中圖分類號：P228.4 文獻標識碼：A文章編號：1674-098X（2013）04（a）-0-02

目前，在普通四等水準測量中主要采用傳統的方法建立施工控制網。而其測量實施具有勞動強度較大，觀測時間較長，操作繁復等弊端。而RTK測量正在廣泛的應用。原因是RTK測量具有勞動強度小，定位精度高，觀測時間短，測站點無需通視，操作簡便等有利因素。但是RTK測量的高程無法直接用于水準測量，這是由于RTK測量出來的高程存在著高程異常值。所以，該文以本校園為實驗地點，針對該問題深入研究RTK測量的理論和方法，探討校園高程異常值的分布規律。

1 大地高與正常高的理論關系

RTK測高采用的是大地高系統，測得每個點的大地高。大地高系統是以橢球面為基準的高程系統，大地高是由地面點沿通過該點的橢球面法線到橢球面的距離，通常以表示。而我國的高程系統采用的是正常高系統，該系統測得的是正常高，正常高是地面點沿鉛垂線方向到似大地水準面的距離，用表示[1]。地形測圖及工程建設都是依據水準高程，因此在實際測量工作中，更多需要的是正常高。大地高與正常高有（1）式的關系，兩者之間的高程差為高程異常，其關系如圖1所示[2]。因此，在實際工程中應用高程時，采用RTK測量得到大地高后，將之高程擬合為正常高是非常必要的。

（1）

圖1 大地高與正常高的關系

2 高程數值擬合方法

2.1 平面擬合法

設在GPS網中共有n個點，其中有m個公共點，公共點的高程異常值和平面位置坐標分別為，并設其有一下關系式[3]。

（2）

式中，為模型參數。

首先利用這m個公共點的高程異常值和平面坐標求3個模型參數。為此，列立誤差方程式，并寫成矩陣的形式

（3）

式中，

。

按參數平差原理，可得

（4）

計算得到3個模型參數后，即可以根據其他GPS點的平面位置坐標并代入（2）式擬合其他GPS的高程異常值，此時，。最后可以確定所有CPS點的正常高值。

2.2 二次曲面擬合法

二次曲面擬合法同平面擬合法相似，此處設公共點的高程異常值的平面坐標分別為并設有以下關系式。

（5）

式中，為6個模型參數。為了計算這6個模型參數，在GPS網中至少應該有6個公共點。組成的誤差方程式仍為（3）式，但此時個系數矩陣應為

解算6個模型參數和擬合其他GPS點的高程異常值的方法與上面相同。

2.3 Matlab的數據處理方法

2.3.1 Matlab及其函數griddata簡介

Matlab是MathWorks公司推出的一套高性能的數值計算和可視化軟件，集數值分析、矩陣運算與顯示于一體，可方便地應用于數學計算、數據分析和工程繪圖，所采用的數值計算方法均采用公認的先進、可靠的算法，其程序均由世界一流專家編制并經高度優化。Matlab中的griddata函數可以將位于同間坐標系下的散點插值為規則格網，提供了包括基于Delaunay三角形的線性插值、三次多項式插值及最近點插值，可以方便地實現結合鄰近離散點分布特征的光滑曲面擬合。

2.3.2 Matlab插值擬合的實現

通過編寫簡單的Matlab命令文件g.m，即可在Matlab環境下實現Delaunay三角形的高程異常計算；通過Matlab的圖形可視化功能，可以得到高程異常的曲面模型。g.im主要源代碼如下：

[xi，yi]=meshgrid（linspace（min（x），max（x），100），linspace（min（y），max（y），100））；%按指定間距得到規格化的格網。

zi=griddata（x，y，z，xi，yi，’invdist’）；%按指定的方法得到高程異常。

mesh（xi，yi，zi）；%擬合后的高程異常曲面圖形的顯示。

其中x、y；xi、yi；xk、yk分別為GPS高程聯測點、擬合節點及插值點的平面位置坐標，z、zi及zk高程聯測點高程異常觀測值、擬合點及內插點計算高程異常值。

3 實驗分析

本次實驗集中于校園內，整個校園面積約1 km2，共選擇均勻分布在校園內的19個公共點進行實驗。實驗過程中，平面控制采用附合導線布設，同時利用常規四等水準測量及RTK分別獲得各點對應的正常高和大地高。首先，選用均勻分布的3個公共點做平面擬合，而其余16個點進行擬合模型的檢核；然后，再增加3個測量點（共6個公共點）做二次曲面擬合和Matlab曲面擬合，而其余13個公共點作檢核點。在建立二次曲面擬合模型過程中，通過不斷試驗，在原來的模型，即式（5）上加以改進，得到新的模型。

（6）

其中，；

各模型計算結果見表1。

3.1 數據分析

根據上表的擬合差值的統計，可以得到各模型的擬合差值的絕對值在0～1 cm，1～2 cm，2～3 cm，3～4 cm，還有>4 cm這些范圍的分布規律，如圖所示：

圖2 各模型擬合差值分布規律

由圖2可以看出，在平面擬合中高程異常擬合差值的絕對值在所有范圍內所占比例比較平均，在0～2 cm范圍內所占比例46.1%，在2～3 cm范圍內占比例為23.1%，在3～4 cm占比例23.1%，且>4 cm的比例最少只有7.7%。二次曲面擬合方法擬合出的高程異常差值的絕對值全部在0～4 cm范圍內，且在0～2 cm范圍內的比例達69.2%，2～3 cm所占比例達23.1%，3～4 cm所占比例達7.7%。Matlab曲面擬合的結果在1～2 cm中所占比例為7.7%，其余全部在>4 cm范圍內，高達92.3%。因此，對于本校園來說，二次曲面擬合方法得到的模型最為理想。

3.2 精度分析

由于采用平面擬合方法進行高程擬合時，擬合平面通過各擬合點，故擬合點的內部符合精度為0，為便于與Matlab曲面擬合方法比較轉換成過間的差異，檢核點的單點最大偏差及外部符合精度為評價指標。其中外部符合精度RMS（Root Mean Square）的評定指標如式（7）[4]。

（7）

式中，n為檢核點的總個數，Δ為檢核點的擬合估值與實測值的差值，各處理模型的精度指標如表2。

由表2所表示的結果可知，在常規擬合方法中，平面及二次曲面的高程異常值的最大偏差值分別為-43.9 mm、34.7 mm以及其外符合精度分別為25.2 mm、17.4 mm。由于似大地水準面是一個不規則的連續曲面，曲面擬合的高程異常成果明顯優于平面擬合結果；Matlab曲面擬合出來的結果是-72.4 mm、451.4 mm，結果并不理想。因此二次曲面擬合更適合本校園內的工程測量要求。根據（6）式二次曲面擬合模型，可以得到各個公共點的高程異常值在本校園的分布比較相近，其擬合差值都控制在5 cm之內，可以滿足普通水準測量的需要。

4 結語

該文主要基于RTK的校園高程異常值的分布規律，運用平面擬合模型、二次曲面擬合模型以及Matlab曲面擬合模型三種方法進行實驗，在此過程中再將模型加以改進，然后選出了最適合本校園的模型為二次曲面擬合模型。從而，可以利用此模型通過本校園內已知的任意一點的由RTK測得的大地高值來計算出這一點正常高值，實現了在校園里可以用RTK的測量手段代替傳統四等或等外水準測量的目的。

參考文獻

[1]孔祥元，郭際明，劉宗泉.大地測量學基礎[M].武漢：武漢大學出版社，2010：76-78.

[2]魏旭東，曹先革，楊金玲.平坦地區GPS高程異常擬合研究[J].測繪與空間地理信息，2011，34（5）：59.

[3]黃聲享，郭英起，易慶林.GPS在工程測量中的應用[M].北京：測繪出版社，2007：120-121.

[4]陳本富，王貴武，沈慧，等.基于Matlab的數據處理方法在GPS高程擬合中的應用[J].昆明理工大學學報（理工版），2009，34（5）：3-4.