液滴高度的變化

摘 要：該文主要通過建立數學模型，來模擬放在一種固體材料平面上的液滴隨著體積增大的形狀變化情況。

關鍵詞：液滴高度 ode工具 附加壓強 極限高度

中圖分類號：O1文獻標識碼：A文章編號：1674-098X（2013）05（c）-0126-01

我們對液滴的截面圖線上的任意一點P做受力分析，根據附加壓強的Laplace公式，以及適當選取正交截面，得到曲線上每一點的縱坐標、橫坐標、曲率半徑與z軸夾角關于自變量s（s為接觸點到P點的曲線弧長）的微分方程組，這樣的好處是初值條件很容易得到。此方程組沒有解析解，但是通過Matlab的ode命令，可以得出數值解，是一些離散點，從而描繪出液滴外形輪廓曲線。這時，一組（x0，Rx0，θ）就能確定一個液滴形狀。其中x0為底面半徑，Rx0為接觸點的曲率半徑值一，θ為接觸角。

然后，我們用演繹的方法模擬液滴高度隨著體積增加的變化情況。對于一個確定的體積V，和接觸角θ，將得到唯一一個液滴輪廓曲線，對應的液滴形狀是最佳的。將其高度記為Z。重復以上過程，將得到Z關于V的關系圖線。

最后我們回顧了建模過程，并對此模型提出了一些可改進方面的建議。

1 問題概述

我們需要通過建模模擬出放在一種固體材料的水平平面上的液體的高度隨著體積增大的變化情況，并且對于不同的接觸角情況做類似的分析。在實際情況中，隨著體積的增大，一開始液滴的高度會逐漸增加，直到達到一個最大值（飽和高度），之后隨著體積的增大，高度逐漸減小，但是減小速度會逐漸減慢，最后，液滴的高度將趨于一個極限的高度。我們希望通過建立相關的模型，來模擬這個變化過程，從而解釋這種現象，同時計算出飽和高度，飽和體積，極限高度，飽和直徑等一系列相關數據，分析其中可能存在的規律，并且畫出液滴輪廓圖，從而對此現象有個直觀生動的認識。

2 初步假設

假設一，固體材料水平面是各向均勻的，大氣壓分布以及液體的性質（比如密度分布）也是均勻的。

假設二，液體體積增加的過程為準靜態過程，液體的高度取平衡狀態下的高度。

假設三，液體不會被固體材料吸收。

3 建立模型

從上述假設條件可以知道，液滴的三維形狀可以由液滴豎直截面的輪廓曲線繞z軸旋轉180度得到。所以只要確定了液滴的截面的輪廓，就確定了液滴的三維形狀，同時得到其高度，體積等數據。

由于液面有彎曲，產生內外壓強差，稱為附加壓強，根據Laplace公式，曲面上某點的附加壓強為

考慮P點的附加壓強，以P為中心做一曲面微元，用互相垂直的兩個平面截取這曲面微元，得到兩條截線，這兩條截線在P點的曲率半徑就是上文所說的R1和R2。微分幾何中已經證明，只要是用相互垂直的平面截取出的兩個曲率半徑，它們的倒數和的值是不變的。

現在考慮一個已經處于平衡狀態的液滴

根據曲線上任意一點P，和X0點，考慮平衡條件，它們的附加壓強差應該等于內部液體重力產生的壓強差，于是有以下等式

將長度單位替換為毛細長度，最終得到輪廓曲線的微分方程組

這樣，只要給定了初值條件x0和θ，以及Rx0，此方程的解就對應著一條液滴的輪廓曲線了。但是此方程沒有解析解，我們將通過Matlab的ode命令求此方程的數值解，從而模擬出液滴輪廓曲線。另外由于輪廓曲線的對稱性，只需模擬右邊一半，即x大于0的情況即可。

4 模型實現

我們希望通過建立模型，來解釋液滴的高度隨著體積增加而先增加后減少后趨于一極限值的現象。大體思想如下，取一系列體積值，且都是第一個體積值的整數倍（也就是第一個體積值作為單位體積），比如0.6，1.2，1.8，2.4，…30…等等，對于每個體積Vi，將會有若干組不同的（x0，Rx0，θ）決定的輪廓曲線的液滴的體積等于Vi，這時候根據物理原理，液體在自然狀態下，必然是處于能量最低的最穩定的狀態，于是我們可以通過計算這些液滴的表面能與重力勢能之和，選取最小者為這個體積Vi對應的液滴，記錄下它的高度Zi。以此類推，可以得到若干組Vi和Zi的數據對，將其在一張圖中畫出圖線，可以清楚的看到高度隨著體積增加的變化情況。

按照以上思想，利用Matlab編寫程序，這個程序可以對每個Vi進行自動X坐標尋找，但是精度高的時候無法搜索到合適的X坐標，所以在精度高時我們采用手動尋找X的方式，從粗略到細致，盡可能找到最好的液滴形狀。這樣，通過二者結合，可以得到不同的接觸角下，液滴高度與液滴體積的關系圖。同時得到了飽和高度、極限高度、飽和直徑、飽和體積等相關數據。

從數據中可以看到，高度Z隨著體積的增加，是先增加，達到飽和后減少，然后可以看到減少的斜率越來越小，所以減少速度逐漸降低，最終趨于一個極限值。

5 結果概述

本模型采用了液滴輪廓曲線上每一點的受力情況作為微分方程的依據，用Matlab作出數值解。通過半自動的搜索方式，得出某一體積的最佳液滴形狀，計算出相關數據。通過不斷增加液體體積，模擬出液滴的高度的變化情況，結果較好地體現了實際情況中的先增后減后趨于平穩的現象。另外，模擬出的極限高度和理論推導出的極限高度值較為接近。

本模型的程序采用自動手動結合的方式，使得求解時的效率和精確度達到合適的平衡。

參考文獻

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