分段函數分段點處可導性的討論

摘 要：分段函數是高等數學中一種重要的函數，該文討論了分段函數分段點處的可導性，并給出了求分段函數分段點處導數的幾種方法。

關鍵詞：分段函數 分段點 可導

中圖分類號：O172.文獻標識碼：A文章編號：1674-098X（2013）05（C）-0168-02

函數是高等數學的研究對象，分段函數也不例外。分段函數一般而言不是初等函數，但在教學過程中經常涉及到。而導數是研究函數性態的重要工具，因此分段函數分段點處的連續性與可導性問題是高等數學教學中一重點，同時也是難點，討論分段函數分段點處的連續性與可導性的題目也是各級各類考試中的常見題型。

1 分段函數分段點處的可導性

根據函數在一點處的導數的定義——函數增量與自變量增量的比值當自變量增量趨于零時的極限，知一點處的導數指的是函數在該點處的變化率問題，不是孤立的，與附近的函數關系有關。分段函數是在自變量的不同取值范圍內函數的表達式不同，因此在分段函數分段點的兩側函數表達式不同，這時要考慮分段點處的導數是就需求導數定義式的左、右極限，即左、右導數。由于左、右導數存在且相等是導數存在的充分必要條件，因此若左、右導數存在且相等則函數在分段點處可導，若左、右導數至少一個不存在，則函數在分段點處不可導。下面我們結合一些例子來討論分段函數分段點處的導數的計算方法。

2 分段函數分段點處的導數計算

2.1 用定義求分段函數分段點處的導數

例1[1]設函數，求

錯解1：當時，，故

錯解2：當時，，故

分析：出現上述兩種錯解的原因是學生沒有理解導數概念的本質含義。導數是運動的、變化的、相互聯系的量，不是孤立的，不只與一點處的函數值有關，因此解法一錯。

函數在一點處的導數，反映了函數相對于自變量的變化率，這個變化率是由函數與自變量的依賴關系（對應法則）決定的。對于初等函數，這種依賴關系是一個數學式子給出的，所以求導數可按照初等函數的求導公式和求導法則來求，而分段函數的分段點處附近表示函數與自變量依賴關系得數學式子不是一個，不能應用導數公式、法則來求分段點處的導數，應考慮該點左右兩側的情況，因此要用導數的定義及左、右導數來確定分段函數在分段點處的導數是否存在。故解法二錯。

正解：

，

不存在，不存在。

注：（1）本題也可以借助可導與連續的關系來討論。

則，

所以函數在處不連續，因此函數在處不可導，即不存在。

（2）當分段點左右兩側的表達式相同時可不分左、右導數來求，只需判別導數的定義式的極限的存在性。如：

例2設，求

解：

由以上兩個例子可以看出，用導數的定義式或左、右導數來判別分段點處的可導性只需判別導數定義式的極限的存在性。但很多學生受中學數學應試教育的影響，會用公式、法則求導函數，但沒有較好的掌握導數的定義式，認為定義太復雜而不習慣用定義討論，下邊介紹另外一種求分段函數分段點處的導數的方法。

2.2 用導數極限定理求分段函數分段點處的導數

導數極限定理[2]：若函數在上連續，在內可導，，且為常數），則在處的右導數存在且等于

證明：取，則在上連續，在內可導，由拉格朗日中值定理得，至少存在一點，使得，

故

證畢。

類似地，對左導數也有相應的結論：

推論：若函數在上連續，在內可導，，且為常數），則在處的左導數存在且等于

說明：

（1）定理中0指的是導函數當時的右（左）極限，不能與右、左導數的定義混淆。

（2）用此定理解決分段函數在分段點處的可導性問題時，只需求導函數當時的右（左）極限，可以使極限的運算簡化。如：

例3設，求

解：當時，，

當時，，，

，

故.

（3）應用的時候一定要注意定理的條件。如：該定理要求函數在分段函數的分段點處一定是連續的，忽略了這個條件，結果就會出錯。例1中，

當時，，；

當時，，

故，因此得

事實上函數在處不可導。

（4）該定理中導函數當時的右（左）極限存在是處右、左導數存在的充分非必要條件，也就是說導函數在分段點處的左、右極限不存在時，不能斷定函數在分段點處不可導。如例2，當時，，顯然，不存在，但事實上該函數在處可導。

3 結語

由上面的討論，我們得到了三種求分段函數分段點處的導數的方法：

（1）用可導與連續的關系，但此方法只能判別函數在該點處不可導。

（2）用定義式及左、右導數的定義式，導數定義式的極限存在及左、右導數存在且相等是導數存在的充分必要條件，用這種方法解決問題比較準確，并且導數的定義式極限的存在性，不需討論或驗證一些前提條件，是首選的好辦法。因此，在解這類題目的時候，特別是出初學時，要求學生用這種方法。

（3）用導數極限定理解決分段函數在分段點處的導數問題相對于用導數的定義來討論有很大的優勢，會簡化極限的運算，但由于這個定理不是函數在一點處可導的充分必要條件，在運用時一定要注意是否滿足定理的條件，否則很容易導致錯誤結果。

參考文獻

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]趙樹嫄.微積分[M].北京：中國人民大學出版社，1988.