歸納推理與學生邏輯思維能力的培養

數學方法和學生的邏輯思維能力是密切相關的.邏輯思維能力中包括分析綜合能力、抽象概括能力和論證能力. 因此，使學生切實學好數學基礎知識和必要的邏輯知識，提高分析和綜合、抽象和概括、推理論證的能力是培養學生邏輯思維能力的重要途徑.

一、使學生切實掌握數學基礎知識及必要的邏輯知識

數學學科的基礎知識，是思維的依據，而這些基礎知識嚴密的邏輯體系，又是邏輯思維的基本形式和方法在演繹過程中的充分顯示和運用. 教學中應該高度重視這一點，在指導學生循序漸進地學習數學基礎知識的同時，適當地介紹有關邏輯的初步知識，要求學生有意識地去領會、理解并逐步掌握這些邏輯思維的基本形式和方法，保證思維的正確性和合理性. 例如，結合教學內容，適時地介紹概念定義的方式、概念的正確分類方法、推理與證明的規則和方法等，就可以避免和防止諸如分類的重復和遺漏、沒有依據的推理證明等邏輯錯誤，就可以讓學生逐步體驗數學知識的邏輯體系，提高邏輯思維能力.

二、提高學生分析和綜合、抽象與概括以及推理證明的能力

在數學中，對用數學符號表示的文字或圖形的分解與組合、尋求證明途徑、推理論證都離不開分析與綜合，在教學中結合具體實例，經常反復地闡明這種思維方法，會促進學生邏輯思維能力的提高.分析與綜合在證明時思考方向的不同可分為分析法與綜合法. 分析與綜合從邏輯思維方法的角度來看，還有另一種含義：分析就是把思維對象分成若干部分來考察；綜合就是把各部分考察的結果結合起來，形成對整體的認識. 在教學中，經常地運用這種方法，闡明其思維過程，樹立“化整為零、積零為整”的思想觀點，是培養學生邏輯思維能力的有效途徑.

例1 求證mn（m2-n2）（m、n為整數）一定是3的倍數.

這道題我們可以分以下幾個步驟考察：

①若m、n有一個是3的倍數，結論成立.

②若m、n都不是3的倍數，且m，n被3除的余數相同，則3│（m-n），即3│mn（m2-n2）；

③若m、n都不是3的倍數且被3除后的余數不相同，一為3k+1型，一為3k+2型（k為整數），則3│（m+n），即3│mn（m2-n2）.

綜合以上三個步驟的考察，即可得出原命題的正確性.

抽象與概括也是一種邏輯思維的方法. 在數學中，要形成概念，獲得命題，建立公式和歸納法則等都需要運用它，數學中若能有意識地經常展現這一邏輯方法的思維過程，也是培養學生邏輯思維的有效途徑.

例2 對于 │a│（a為任意實數）的教學，可采用如下表格填空：

由上述表格中的規律概括出結論：

│a│=a（a>0）

0（a=0）

-a（a<0）

三、加強推理與證明的嚴格訓練

首先，教師在數學教學中，從語言到板書要求嚴格遵守邏輯規律，正確運用推理形式，作出示范，這對中學生潛移默化的影響是相當大的. 長期做好這項工作是十分必要的.

其次，必須教育學生養成嚴謹推理和證明的習慣，要通過課堂提問、課堂練習、課外練習，及時發現和了解學生在推理證明方向的困難和缺陷，并幫助他們克服改正.

再次，隨時指出并糾正學生在推理論證中犯的錯誤. 這也是進行推理和證明訓練不可忽視的工作.

例3 求證：1=2.

證明：假設a=b，那么a2=ab

∴ a2-b2=ab-b2

（a+b）（a-b）=b（a-b），即a+b=b

∴ 2b=b 故 2=1

顯然，這是假證明，錯誤在于把等式性質的使用范圍弄錯了，由（a+b）（a-b）=b（a-b）到a+b=b造成錯誤.