用非標準分析方法對極限概念的一種理解

摘要：極限概念是整個微積分最基本、最核心的概念，維爾斯特拉斯給出了極限嚴格的ε-δ定義，使得微積分有了堅實的理論基礎，但對初學者而言ε-δ語言顯得有些抽象；非標準分析是由美國數理邏輯學家魯濱遜創立的，它用無窮小量建立超實數域，直觀形象的解釋了無限趨近的問題。本文即在非標準分析的基礎上，用無窮小量對極限概念作出了另外一種分析與理解。

關鍵詞：非標準分析 無窮小量 極限

1 極限概念簡析

給出極限嚴格數學定義的是維爾斯特拉斯，他是這樣定義極限的：

對定義域為D的函數f（x），？坌？著>0，？堝？啄>0，？坌x∈D，當時x-x■<？啄，都有f（x）-A<？著，則稱f（x）在x→x0時的極限為A。

這一定義是嚴格準確的，它的意思是說對函數f（x）而言，當x無限趨近于x0時，若使得f（x）無限趨近于A，則稱 在f（x）在x→x0時的極限為A。但對初學者而言，一開始僅憑想象來理解這一概念是有一定困難的，往往出現一些疑問，比如：對？坌？著>0，？堝？啄>0，那么？著、？啄到底有多大；當x無限趨近于x0，f（x）無限趨近于A，無限趨近到底有多近等等一些問題。那么，我們有沒有一種更明確更直觀的理解呢？

我們先分析這樣一個問題，極限是對定義在實數域上的函數f（x）而言的，x無限趨近于x0與f（x）無限趨近于A，實質上即是x-x0與f（x）-A無限趨近于無窮小（記為？著）。

那么，我們只要能直觀形象的解釋了無窮小？著，也就能直觀的解釋極限的概念了，下面我們介紹一下用非標準分析解釋無窮小的方法。

2 非標準分析簡析

非標準分析是利用數理邏輯把通常實數結構擴張為包括無窮小與無窮大結構而形成的一個新分支，主要內容如下：

將實數域R擴大為包含無窮小與無窮大的超實數域 R*，實數域R中的任一實數a對應超實數域R*中的超實數a*，超實數a*不只是一個數，而是由無數個超實數構成的以a為中心，以無窮小？著為半徑的鄰域O？著（a），即a*=（a-？著，a+？著），由此，可以建立超實數軸如下圖：

由此，建立在實數域基礎上的四則運算法則、概念、定理等在超實數域基礎上仍適用，如區間（a，b）擴張為（a*，b*），實數域R中的函數f（x）擴張為超實數域R*中的函數f（x*），函數f（x*）在超實數域R*內仍然有連續、一致連續等定義。

3 用非標準分析對極限概念的理解

維爾斯特拉斯的極限理論使數學分析有了嚴密的邏輯基礎，促進了數學分析的大發展，但由于極限理論的抽象性，使得初學者理解起來有許多困難，恰好無窮小彌補了這一缺陷。然而，一開始有很多人卻認為無窮小是不存在的，直到20世紀60年代，魯濱遜運用了嚴密的數理邏輯論證了無窮小的存在并創立了非標準分析之后，這一問題才得到圓滿的解決。

在非標準分析下，超實數a*無限趨近于超實數b*，即a*與b*達到了相差為無窮小？著的狀態，也就是a*趨近于 b*的過程中，a*進入區間（b-？著，b+？著）時，就說a*無限趨近于b*，此時a*與b*相差為無窮小。

根據這一思想，極限可定義為：“對函數f（x*）而言，當x*無限趨近于x0*時，f（x*）無限趨近于A*，則稱函數f（x*）在x*無限趨近于x0*時的極限為A*。”

那么，極限定義中x無限趨近于x0的意思是實數x在趨于實數x0的過程中，x進入了x0構成的超實數域O？著（x0）；同理f（x）無限趨近于A即隨著x進入了x0構成的超實數域O？著（x0），實數f（x）進入了以A構成的超實數域f（A）。

當x所對應的超實數x*與x0所對應的超實數x0*的距離為無窮小？著時，f（x*）與A*的距離也達到了無窮小，即f（x*）的極限為A*。

參考文獻：

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[2]金治明.非標準分析與隨機過程[M].國防科技大學出版社，1997.

[3]朱梧槚，徐敏，周勇.略論近現代數學系統對兩種無窮觀的兼容性[J].自然雜志，2005，27（6）：336-339.

[4]史保懷，魏裕博.關于極限之本質[J].西安郵電學院學報，2007（5）：134-137.

作者簡介：

馬池德（1981-），男，山東日照人，河北工程技術高等專科學校數學教師，研究方向：計算數學。

杜紹坤（1983-），男，河北唐山人，河北工程技術高等專科學校數學教師，研究方向：邏輯代數。