“分層”視角下的初高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接

1 背景

高中數(shù)學(xué)使用課標(biāo)課程以來，課程要求、教材內(nèi)容、評價方式、學(xué)生的“學(xué)”與教師的“教”都發(fā)生了巨大的變化，而現(xiàn)行的初中數(shù)學(xué)無論是從教材，還是從教法等各個方面較之以前都做了大幅度的調(diào)整.難度的降低，使得學(xué)生由初中進(jìn)入高中出現(xiàn)了明顯的不適應(yīng)，建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是積累性的.如何在學(xué)生已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，培養(yǎng)學(xué)生動手實(shí)踐、自主探索的學(xué)習(xí)方式，提高學(xué)生的理性思維能力，是值得高中一線教師深思的一個問題.

從初中到高中，學(xué)生的思維處在由直觀感知到理性分析的過渡時期，“點(diǎn)到直線的距離”是在學(xué)生學(xué)會用代數(shù)方法解決直線的位置關(guān)系后，從定量的角度解決距離問題，是對學(xué)生思維的一次提升.由于高中學(xué)生的生源來自于不同的學(xué)校，他們在知識、能力上的背景有所差異，所具備的知識、方法不一致，采用分層的教學(xué)模式，能夠有效地實(shí)現(xiàn)初高中的數(shù)學(xué)教學(xué)銜接.同時也能夠有效實(shí)現(xiàn)“人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)；人人都能獲得必要的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.”提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，為后續(xù)學(xué)習(xí)提供動力.

“點(diǎn)到直線的距離”是解析幾何的基礎(chǔ)，是學(xué)生在學(xué)習(xí)點(diǎn)點(diǎn)距離之后，從定量的角度解決點(diǎn)線距離問題.它是學(xué)習(xí)直線與圓位置關(guān)系的前提，其中涉及到的坐標(biāo)法思想，對后續(xù)圓錐曲線的學(xué)習(xí)起到基礎(chǔ)性的作用.

2 問題再現(xiàn)已知點(diǎn)

000（）P xy，，直線：0l AxByC++=，如何求點(diǎn)

0P到直線l的距離？

3 “點(diǎn)到直線的距離”的理解

初中學(xué)習(xí)過“點(diǎn)到直線的距離”的定義，即：過點(diǎn)P0作直線l的垂線，垂足為點(diǎn)Q，線段P0Q的長度叫0P到直線l的距離.其內(nèi)涵為：直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連線的所有線段中，垂線段最短.高中“點(diǎn)到直線的距離”則是建立在函數(shù)的基礎(chǔ)上，將“點(diǎn)到直線的距離”轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線上動點(diǎn)距離的最小值，體現(xiàn)了運(yùn)動變化的思想.從定性到定量的描述，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的發(fā)展過程.將“點(diǎn)線距離”轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)點(diǎn)距離”最小值的函數(shù)思想更為抽象，由于學(xué)生在知識、能力背景上的差異性，因此，在教學(xué)時應(yīng)特別重視分層次教學(xué)，依據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，采用不同的教學(xué)方法，努力實(shí)現(xiàn)不同層次學(xué)生在思維能力上的發(fā)展.

4 “點(diǎn)到直線的距離”蘊(yùn)含的銜接點(diǎn)及思想方法

求解點(diǎn)到直線的距離方法有多種，有課本上講到的定義法、三角形法，除此之外，還有函數(shù)法、向量法、不等式法、參數(shù)法等.定義法對學(xué)生解方程能力要求較高，由于初中側(cè)重解決只含常系數(shù)的一元二次方程組問題，而這里需要去解決一個含參量A，B，C的一元二次方程組.方法雖易想到，但運(yùn)算卻不易；三角形法體現(xiàn)了降維思想，將所求問題轉(zhuǎn)化為兩條平行于坐標(biāo)軸的線段長度，它以學(xué)生初中學(xué)過的“三角形面積公式”為載體，困難點(diǎn)在于輔助三角形的構(gòu)造及后續(xù)計算；函數(shù)法則是站在函數(shù)的觀點(diǎn)上，將點(diǎn)線距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距離的最小值，從而將所求問題轉(zhuǎn)化為與一元二次函數(shù)有關(guān)的最小值問題，它要求學(xué)生對初中所學(xué)的一元二次函數(shù)性質(zhì)有清晰的了解；至于向量法、不等式法、參數(shù)法等其它方法則是學(xué)生在對數(shù)學(xué)的連貫性及整體性學(xué)習(xí)了解之后，站在更高的角度上，用更為巧妙的方法解決問題.其中在解題過程中滲透的化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、降維等數(shù)學(xué)思想方法，對學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)其它模塊的內(nèi)容及解決實(shí)際數(shù)學(xué)問題都有非常重要的指導(dǎo)作用.

5 分層次教學(xué)

初高中數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)差異在于學(xué)習(xí)目標(biāo)的改變，從研究形象的數(shù)學(xué)問題到抽象的數(shù)學(xué)規(guī)律.而對于習(xí)慣了過去以記憶、模仿為主的學(xué)習(xí)方式的學(xué)生，往往會產(chǎn)生學(xué)習(xí)上的困難.《高中課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確提出應(yīng)倡導(dǎo)學(xué)生自主探索、動手實(shí)踐、合作交流、閱讀自學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式.高中數(shù)學(xué)的難度、廣度、深度較初中大大提高，因此在教學(xué)中我們應(yīng)充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，結(jié)合學(xué)生自身學(xué)習(xí)特點(diǎn)，讓學(xué)生適當(dāng)自主思考探索，討論交流解決問題的辦法，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況進(jìn)行教學(xué).為讓不同層次的學(xué)生在掌握知識的同時，能力也得到不同程度的提高，可將教學(xué)目標(biāo)分解為如下若干遞進(jìn)層次.

在這一層中，學(xué)生的困難點(diǎn)在于利用定義法解含參量的一元二次方程組，利用三角形法進(jìn)行復(fù)雜的運(yùn)算.為此在教學(xué)時，應(yīng)以“垂線段最短”為載體，盡量讓學(xué)生自己動手演算，這樣既可以讓他們體驗(yàn)知識的形成過程，又能比較兩種方法的優(yōu)劣.

在這一層中，通過學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、探究活動，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)問題發(fā)現(xiàn)和解決的過程，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識.

第三層，側(cè)重從高考角度培養(yǎng)學(xué)生類比、反思與建構(gòu)的能力.讓學(xué)生從已知問題出發(fā)，建構(gòu)出類似問題，思考并解決.培養(yǎng)學(xué)生課后自主探究，查閱相關(guān)資料解決問題的應(yīng)用意識.筆者在實(shí)驗(yàn)班教學(xué)時，針對學(xué)生特點(diǎn)，提出如下問題：若這里的對象不再是直線，而是定點(diǎn)與定拋物線，能否用函數(shù)法解決最小值問題.由于這里化簡之后的函數(shù)不再與一元二次函數(shù)有關(guān)，需利用導(dǎo)數(shù)知識去解決，超出了高一學(xué)生的可接受范圍，可鼓勵學(xué)有余力的學(xué)生在課下查閱相關(guān)知識進(jìn)行探究，同時也可啟發(fā)學(xué)生從其它的角度去解決問題.鼓勵少數(shù)學(xué)生超前學(xué)習(xí)，利用向量、不等式的相關(guān)知識解決問題，從而最終實(shí)現(xiàn)不同學(xué)生在能力上得到不同的發(fā)展.

在例題設(shè)計中，也要根據(jù)學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平，從學(xué)生基礎(chǔ)層次著眼，從方法、思路等方面入手，讓不同層面的學(xué)生得到不同程度的提高.這里可做如下設(shè)置：

（5）求證：等邊三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和等于定值.

（6）若點(diǎn)（1 2）A，，（3 1）B，到直線L的距離分別是2，52？，則滿足條件的直線L共有____條.

（1）、（2）的設(shè)置主要針對第一層次的學(xué)生，讓他們在練習(xí)的過程中了解公式的結(jié)構(gòu)特征、適用范圍及熟悉公式，保護(hù)他們學(xué)習(xí)的積極性，讓他們在原有的認(rèn)知水平上得到發(fā)展，達(dá)到基本的教學(xué)要求，但這對學(xué)有余力的學(xué)生而言還是比較簡單，于是可增設(shè)問題（3），（3）的解決即待定系數(shù)法與點(diǎn)線距離公式的使用，這里可讓學(xué)生在訓(xùn)練的過程中體會所學(xué)過的待定系數(shù)法及數(shù)形結(jié)合的思想.

（4）、（5）、（6）的設(shè)置主要是為了滿足第二、三層次的學(xué)生需求.重點(diǎn)是讓學(xué)生學(xué)會把所給問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離，學(xué)會化未知為已知的能力，而不是簡單地套用公式.

簡而言之，在每一層面的例題設(shè)計上應(yīng)遵循由易到難、由淺入深、循序漸進(jìn)的原則，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的教學(xué)效果.

6 反思

初高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接一方面需要我們了解其中的差異點(diǎn)，以差異點(diǎn)為背景，重視基礎(chǔ)知識和基本技能的培養(yǎng)，注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用創(chuàng)新意識；另一方面，又要遵循“因材施教”的原則，實(shí)施分層教學(xué)，由于各種因素，學(xué)生的個體差異性是必然存在的，不同學(xué)生在同一能力層面上的發(fā)展是不同的.在實(shí)際教學(xué)中，我們應(yīng)充分了解每個學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、個性特點(diǎn)，根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況，采取不同的教學(xué)策略.對于基礎(chǔ)較弱的學(xué)生來說，要“低起點(diǎn)、小梯度、重基礎(chǔ)、多鼓勵”，注意保護(hù)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性.對優(yōu)生設(shè)計的問題可以靈活一些，同時鼓勵學(xué)生自己提出問題，通過討論解決問題.在例題的安排上也要有一定的梯度，由基本題到變式題再到發(fā)展題，還要設(shè)計一些機(jī)動題，根據(jù)課堂的具體情況進(jìn)行取舍.將教學(xué)目標(biāo)分層化解于教學(xué)內(nèi)容的安排、作業(yè)練習(xí)的布置和學(xué)習(xí)方法的指導(dǎo)之中，使學(xué)生在原有的程度上得到最大限度的發(fā)展，增強(qiáng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)意識，變被動學(xué)習(xí)為主動學(xué)習(xí).不斷提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，從而真正實(shí)現(xiàn)“不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.”