微積分中數學符號的由來

摘要：介紹了積分符號∫、無窮大符號∞、極限符號lim、數集符號、判別式符號？駐、自然對數底數符號e、屬于符號∈等微積分中常見數學符號的由來，幫助學生更好地掌握這一學科知識，激發學生學習興趣，培養學生的數學素質。

關鍵詞：微積分 數學符號 由來

“使用符號，是數學史上的一件大事。一套合適的符號，絕不僅僅是起速記、節省時間的作用。它能夠精確、深刻地表達某種概念、方法和邏輯關系。一個較復雜的公式，如果不用符號而用日常語言來敘述，往往十分冗長而且含糊不清。”（引自我國數學史家梁宗巨的《世界數學史簡編》）。

1 積分符號∫的由來

積分的本質是無窮小的和，拉丁文中“Summa”表示“和”的意思。將“Summa”的頭一個字母“S”拉長就是∫。

發明這個符號的人是德國數學家萊布尼茨（Friedrich ， Leibniz）。萊布尼茲具有淵博的知識，在數學史上他是最偉大的符號學者，并且具有符號大師的美譽。萊布尼茲曾說：“要發明，就要挑選恰當的符號，要做到這一點，就要用含義簡明的少量符號來表達和比較忠實地描繪事物的內在本質，從而最大限度地減少人的思維勞動。”萊布尼茲創設了積分、微分符號，以及商“a/b”，比“a：b”，相似“∽”，全等“≌”，并“∪”，交“∩”等符號。

牛頓和萊布尼茨在微積分方面都做出了巨大貢獻，只是兩者在選擇的方法和途徑方面存在一定的差異。在研究力學的基礎上，牛頓利用幾何的方法對微積分進行研究；在對曲線的切線和面積的問題進行研究的過程中，萊布尼茲采用分析學方法，同時引進微積分要領。在研究微積分具體內容的先后順序方面，牛頓是先有導數概念，后有積分概念；萊布尼茲是先有求積概念，后有導數概念。在微積分的應用方面，牛頓充分結合了運動學，并且造詣較深；而萊布尼茲則追求簡潔與準確。另外，牛頓與萊布尼茲在學風方面也迥然不同。牛頓作為科學家，具有嚴謹的治學風格。牛頓遲遲沒有發表他的微積分著作《流數術》的原因，主要是他沒有找到科學、合理的邏輯基礎，另外，可能也是擔心別人的反對。與此相反，萊布尼茲作為哲學家，富于想象，比較大膽，勇于推廣，主要表現為，在創作年代方面：牛頓比萊布尼茲領先10年，然而在發表時間方面，萊布尼茲卻領先牛頓3年。對于微積分的研究，雖然牛頓和萊布尼茲采用的方法不同，但是卻殊途同歸，并且各自完成了創建微積分的盛業。

2 無窮大符號∞的由來

將8水平置放成“∞”來表示“無窮大”符號。

有人說這個符號的創意來自莫比烏斯帶，因為如果某個人站在一個巨大的莫比烏斯帶的表面上沿著他能看到的“路”一直走下去，他就永遠不會停下來。但有人反駁說“∞”的發明比莫比烏斯帶還要早。

羅馬人將“∞”表示為1000，后來用于表示任意的非常大的數，無窮大。牛津大學的教授約翰·威廉在公元1665年第一次將這個符號表示為無限。但該符號直至1713年貝努利使用它之后，才被廣為采納。

3 極限符號lim的由來

“極限”一詞源于拉丁文“limes”，縮寫為“lim”。1786年瑞士數學家魯易理（Lhuillier）首次引入，后人不斷完善，發展了長達122年之久，由英國數學家哈代（Haddy）的完善極限符號才成為今天通用的符號。

4 自然對數底數符號e的由來

就像圓周率π和虛數單位i，e是數學中最重要的常數之一，是瑞士數學家及自然科學家歐拉（Euler）通過極限■1+■■=e而發現的，它是個無限不循環小數，其值等于2.71828……以e為底的對數叫做自然對數，用符號“ln”表示。上述求極限e的公式被英國科學期刊《物理世界》2004年10月號公布為讀者選出的科學界歷來“最偉大的公式”之一，并且名列第二。

在父親的教育下，歐拉13歲進入巴塞爾大學，15歲大學畢業，16歲獲得碩士學位。在一場重病中，他的左眼完全失明，憑借驚人的記憶力和心算技巧，歐拉繼續科學創作，他與助手們通過討論或者直接口授的方式完成大量的科學著作。歐拉在18世紀的數學界作為最杰出的人物，為數學界做出杰出的貢獻，同時將數學推至幾乎整個物理的領域。另外，歐拉還創設了許多數學符號，其中他將曲面表示為z=f（x，y）并引入一系列標準符號以表示z對x，y的偏導數，至今這些符號仍通用。歐拉對數學的研究如此廣泛，因此以他的名字命名的重要常數、公式和定理等在許多數學的分支中也可經常見到。

5 數集符號由來

自然數集N、整數集Z、有理數集Q、實數集R，復數集C是分別由單詞natural number（英語“自然數”的意思）、Zahlen（德語“整數”的意思，一位德國數學家在整數環中首次用這個字母，后來被沿用）、quotient（英語“商”的意思，因為有理數是兩個整數相比的結果，有理數的英文是rational number，但如果取頭一個字母就會和實數集符號相重）、real number（英語“實數”的意思）、complex number（英語“復數”的意思）。

6 判別式符號？駐的由來

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式

？駐b2-4ac，判別式符號“？駐”是由“Discriminate”（判別式）

一詞的第一個字母D得來的，而字母D相當于希臘字母？駐。

7 屬于符號∈的由來

“∈”表示一個元素屬于某一集合的記號，是意大利數學學家皮亞諾（Peano）在1889年的數學著作中首先使用的。

在數系理論研究方面，皮亞諾做出了重大貢獻。在1889年出版的《算術原理新辦法》一書中，皮亞諾提出 “皮亞諾自然數公理”舉世聞名，在書中他還對許多邏輯符號進行了創新。在1891年創建了《數學雜志》，皮亞諾在這個雜志上利用數理邏輯符號寫下自然數公理，并對它們的獨立性進行了證明。皮亞諾于1893年發表《無窮小分析教程》，該書被德國的數學百科全書列在“自L.歐拉（Euler）和A.L，柯西（GAUCHY）時代以來最重要的19本微積分教科書”之中。皮亞諾撰寫的《數學百科全書》中有很多地方引人注目，例如推廣微分中值定理；多變量函數一致連續性的判定定理；隱函數存在定理以及其可微性定理的證明；部分可微但整體不可微的函數的例子；當時流行的極小理論的反例等。

8 平方根符號■的由來

“根”的拉丁語是radix，它是阿拉伯語的譯名，在數學上具有雙重意義；一方面表示方程的未知數，另一方面又表示一個數的平方根。1637年，法國哲學家、數學家笛卡爾在光輝的《幾何學》著作中，他巧妙地在路多爾夫、斯蒂文創用的符號“■”上面添上一個括線“—”，即用■表示平方根（且多了一個小鉤）。

將代數和幾何巧妙地聯系在一起，這是笛卡爾在數學上的杰出貢獻，從而創造了解析幾何這門學科。笛卡爾于1760年2月，病逝于斯德哥爾摩，由于教會的阻止，為其送葬僅有幾個友人。在他死后其著作也被教會列為禁書。但是，廣大科學家和革命者卻對這位對科學做出巨大貢獻的學者充滿了敬仰和懷念。笛卡爾的骨灰和遺物在法國大革命之后被送進法國歷史博物館。其骨灰在1819年被移入圣日耳曼圣心堂中。墓碑上鐫刻著：笛卡爾，歐洲文藝復興以來，第一個為爭取和捍衛理性權利而奮斗的人。

9 其它數學符號由來

①任意符？坌。任意號來源于英語中的any一詞，因為小寫和大寫均容易造成混淆，故將其單詞首字母大寫后倒置。

②存在符號？堝。存在符號來源于英語中的exist一詞，因為小寫和大寫均容易造成混淆，故將其單詞首字母大寫后反置。

③函數符號f（x）。函數符號來源于英語中的來源于英語中fuction，是由歐拉最終創建的。

④微分符號dx。1684年，萊布尼茨發表了一篇論文《一種求極大極小和切線的新方法，它也運用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》，這是世界上最早的微積分文獻。這篇論文正式出現了微分符號，他取拉丁字“differentia”即“分細”的第一個字母。導數符號■也是萊布尼茨創建的。今天普遍使用的用撇表示導數f′（x），是1797年由法國數學家拉格朗日第一個給出的。

⑤偏導數符號？墜。1786年拉格朗日用“？墜”（rounded，讀作圓d）表示偏導數。

在數學、力學和天文學三個學科中，拉格朗日都有重大歷史性的貢獻，但他主要是數學家，研究力學和天文學的目的是表明數學分析的威力。全部著作、論文、學術報告記錄、學術通訊超過500篇。

參考文獻：

[1]徐品方，張紅.數學符號史[M]. 科學出版社，2005.

[2]吳贛昌.微積分[M].中國人民大學出版社，2011.

作者簡介：梁海濱（1978-），女，遼寧大連人，遼寧對外經貿學院基礎課教研部副教授，研究方向：高等數學教學。