微積分中數(shù)學(xué)符號(hào)的由來

摘要：介紹了積分符號(hào)∫、無窮大符號(hào)∞、極限符號(hào)lim、數(shù)集符號(hào)、判別式符號(hào)？駐、自然對(duì)數(shù)底數(shù)符號(hào)e、屬于符號(hào)∈等微積分中常見數(shù)學(xué)符號(hào)的由來，幫助學(xué)生更好地掌握這一學(xué)科知識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

關(guān)鍵詞：微積分 數(shù)學(xué)符號(hào) 由來

“使用符號(hào)，是數(shù)學(xué)史上的一件大事。一套合適的符號(hào)，絕不僅僅是起速記、節(jié)省時(shí)間的作用。它能夠精確、深刻地表達(dá)某種概念、方法和邏輯關(guān)系。一個(gè)較復(fù)雜的公式，如果不用符號(hào)而用日常語言來敘述，往往十分冗長而且含糊不清。”（引自我國數(shù)學(xué)史家梁宗巨的《世界數(shù)學(xué)史簡(jiǎn)編》）。

1 積分符號(hào)∫的由來

積分的本質(zhì)是無窮小的和，拉丁文中“Summa”表示“和”的意思。將“Summa”的頭一個(gè)字母“S”拉長就是∫。

發(fā)明這個(gè)符號(hào)的人是德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Friedrich ， Leibniz）。萊布尼茲具有淵博的知識(shí)，在數(shù)學(xué)史上他是最偉大的符號(hào)學(xué)者，并且具有符號(hào)大師的美譽(yù)。萊布尼茲曾說：“要發(fā)明，就要挑選恰當(dāng)?shù)姆?hào)，要做到這一點(diǎn)，就要用含義簡(jiǎn)明的少量符號(hào)來表達(dá)和比較忠實(shí)地描繪事物的內(nèi)在本質(zhì)，從而最大限度地減少人的思維勞動(dòng)。”萊布尼茲創(chuàng)設(shè)了積分、微分符號(hào)，以及商“a/b”，比“a：b”，相似“∽”，全等“≌”，并“∪”，交“∩”等符號(hào)。

牛頓和萊布尼茨在微積分方面都做出了巨大貢獻(xiàn)，只是兩者在選擇的方法和途徑方面存在一定的差異。在研究力學(xué)的基礎(chǔ)上，牛頓利用幾何的方法對(duì)微積分進(jìn)行研究；在對(duì)曲線的切線和面積的問題進(jìn)行研究的過程中，萊布尼茲采用分析學(xué)方法，同時(shí)引進(jìn)微積分要領(lǐng)。在研究微積分具體內(nèi)容的先后順序方面，牛頓是先有導(dǎo)數(shù)概念，后有積分概念；萊布尼茲是先有求積概念，后有導(dǎo)數(shù)概念。在微積分的應(yīng)用方面，牛頓充分結(jié)合了運(yùn)動(dòng)學(xué)，并且造詣?shì)^深；而萊布尼茲則追求簡(jiǎn)潔與準(zhǔn)確。另外，牛頓與萊布尼茲在學(xué)風(fēng)方面也迥然不同。牛頓作為科學(xué)家，具有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)風(fēng)格。牛頓遲遲沒有發(fā)表他的微積分著作《流數(shù)術(shù)》的原因，主要是他沒有找到科學(xué)、合理的邏輯基礎(chǔ)，另外，可能也是擔(dān)心別人的反對(duì)。與此相反，萊布尼茲作為哲學(xué)家，富于想象，比較大膽，勇于推廣，主要表現(xiàn)為，在創(chuàng)作年代方面：牛頓比萊布尼茲領(lǐng)先10年，然而在發(fā)表時(shí)間方面，萊布尼茲卻領(lǐng)先牛頓3年。對(duì)于微積分的研究，雖然牛頓和萊布尼茲采用的方法不同，但是卻殊途同歸，并且各自完成了創(chuàng)建微積分的盛業(yè)。

2 無窮大符號(hào)∞的由來

將8水平置放成“∞”來表示“無窮大”符號(hào)。

有人說這個(gè)符號(hào)的創(chuàng)意來自莫比烏斯帶，因?yàn)槿绻硞€(gè)人站在一個(gè)巨大的莫比烏斯帶的表面上沿著他能看到的“路”一直走下去，他就永遠(yuǎn)不會(huì)停下來。但有人反駁說“∞”的發(fā)明比莫比烏斯帶還要早。

羅馬人將“∞”表示為1000，后來用于表示任意的非常大的數(shù)，無窮大。牛津大學(xué)的教授約翰·威廉在公元1665年第一次將這個(gè)符號(hào)表示為無限。但該符號(hào)直至1713年貝努利使用它之后，才被廣為采納。

3 極限符號(hào)lim的由來

“極限”一詞源于拉丁文“l(fā)imes”，縮寫為“l(fā)im”。1786年瑞士數(shù)學(xué)家魯易理（Lhuillier）首次引入，后人不斷完善，發(fā)展了長達(dá)122年之久，由英國數(shù)學(xué)家哈代（Haddy）的完善極限符號(hào)才成為今天通用的符號(hào)。

4 自然對(duì)數(shù)底數(shù)符號(hào)e的由來

就像圓周率π和虛數(shù)單位i，e是數(shù)學(xué)中最重要的常數(shù)之一，是瑞士數(shù)學(xué)家及自然科學(xué)家歐拉（Euler）通過極限■1+■■=e而發(fā)現(xiàn)的，它是個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，其值等于2.71828……以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，用符號(hào)“l(fā)n”表示。上述求極限e的公式被英國科學(xué)期刊《物理世界》2004年10月號(hào)公布為讀者選出的科學(xué)界歷來“最偉大的公式”之一，并且名列第二。

在父親的教育下，歐拉13歲進(jìn)入巴塞爾大學(xué)，15歲大學(xué)畢業(yè)，16歲獲得碩士學(xué)位。在一場(chǎng)重病中，他的左眼完全失明，憑借驚人的記憶力和心算技巧，歐拉繼續(xù)科學(xué)創(chuàng)作，他與助手們通過討論或者直接口授的方式完成大量的科學(xué)著作。歐拉在18世紀(jì)的數(shù)學(xué)界作為最杰出的人物，為數(shù)學(xué)界做出杰出的貢獻(xiàn)，同時(shí)將數(shù)學(xué)推至幾乎整個(gè)物理的領(lǐng)域。另外，歐拉還創(chuàng)設(shè)了許多數(shù)學(xué)符號(hào)，其中他將曲面表示為z=f（x，y）并引入一系列標(biāo)準(zhǔn)符號(hào)以表示z對(duì)x，y的偏導(dǎo)數(shù)，至今這些符號(hào)仍通用。歐拉對(duì)數(shù)學(xué)的研究如此廣泛，因此以他的名字命名的重要常數(shù)、公式和定理等在許多數(shù)學(xué)的分支中也可經(jīng)常見到。

5 數(shù)集符號(hào)由來

自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q、實(shí)數(shù)集R，復(fù)數(shù)集C是分別由單詞natural number（英語“自然數(shù)”的意思）、Zahlen（德語“整數(shù)”的意思，一位德國數(shù)學(xué)家在整數(shù)環(huán)中首次用這個(gè)字母，后來被沿用）、quotient（英語“商”的意思，因?yàn)橛欣頂?shù)是兩個(gè)整數(shù)相比的結(jié)果，有理數(shù)的英文是rational number，但如果取頭一個(gè)字母就會(huì)和實(shí)數(shù)集符號(hào)相重）、real number（英語“實(shí)數(shù)”的意思）、complex number（英語“復(fù)數(shù)”的意思）。

6 判別式符號(hào)？駐的由來

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式

？駐b2-4ac，判別式符號(hào)“？駐”是由“Discriminate”（判別式）

一詞的第一個(gè)字母D得來的，而字母D相當(dāng)于希臘字母？駐。

7 屬于符號(hào)∈的由來

“∈”表示一個(gè)元素屬于某一集合的記號(hào)，是意大利數(shù)學(xué)學(xué)家皮亞諾（Peano）在1889年的數(shù)學(xué)著作中首先使用的。

在數(shù)系理論研究方面，皮亞諾做出了重大貢獻(xiàn)。在1889年出版的《算術(shù)原理新辦法》一書中，皮亞諾提出 “皮亞諾自然數(shù)公理”舉世聞名，在書中他還對(duì)許多邏輯符號(hào)進(jìn)行了創(chuàng)新。在1891年創(chuàng)建了《數(shù)學(xué)雜志》，皮亞諾在這個(gè)雜志上利用數(shù)理邏輯符號(hào)寫下自然數(shù)公理，并對(duì)它們的獨(dú)立性進(jìn)行了證明。皮亞諾于1893年發(fā)表《無窮小分析教程》，該書被德國的數(shù)學(xué)百科全書列在“自L.歐拉（Euler）和A.L，柯西（GAUCHY）時(shí)代以來最重要的19本微積分教科書”之中。皮亞諾撰寫的《數(shù)學(xué)百科全書》中有很多地方引人注目，例如推廣微分中值定理；多變量函數(shù)一致連續(xù)性的判定定理；隱函數(shù)存在定理以及其可微性定理的證明；部分可微但整體不可微的函數(shù)的例子；當(dāng)時(shí)流行的極小理論的反例等。

8 平方根符號(hào)■的由來

“根”的拉丁語是radix，它是阿拉伯語的譯名，在數(shù)學(xué)上具有雙重意義；一方面表示方程的未知數(shù)，另一方面又表示一個(gè)數(shù)的平方根。1637年，法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡爾在光輝的《幾何學(xué)》著作中，他巧妙地在路多爾夫、斯蒂文創(chuàng)用的符號(hào)“■”上面添上一個(gè)括線“—”，即用■表示平方根（且多了一個(gè)小鉤）。

將代數(shù)和幾何巧妙地聯(lián)系在一起，這是笛卡爾在數(shù)學(xué)上的杰出貢獻(xiàn)，從而創(chuàng)造了解析幾何這門學(xué)科。笛卡爾于1760年2月，病逝于斯德哥爾摩，由于教會(huì)的阻止，為其送葬僅有幾個(gè)友人。在他死后其著作也被教會(huì)列為禁書。但是，廣大科學(xué)家和革命者卻對(duì)這位對(duì)科學(xué)做出巨大貢獻(xiàn)的學(xué)者充滿了敬仰和懷念。笛卡爾的骨灰和遺物在法國大革命之后被送進(jìn)法國歷史博物館。其骨灰在1819年被移入圣日耳曼圣心堂中。墓碑上鐫刻著：笛卡爾，歐洲文藝復(fù)興以來，第一個(gè)為爭(zhēng)取和捍衛(wèi)理性權(quán)利而奮斗的人。

9 其它數(shù)學(xué)符號(hào)由來

①任意符？坌。任意號(hào)來源于英語中的any一詞，因?yàn)樾懞痛髮懢菀自斐苫煜蕦⑵鋯卧~首字母大寫后倒置。

②存在符號(hào)？堝。存在符號(hào)來源于英語中的exist一詞，因?yàn)樾懞痛髮懢菀自斐苫煜蕦⑵鋯卧~首字母大寫后反置。

③函數(shù)符號(hào)f（x）。函數(shù)符號(hào)來源于英語中的來源于英語中fuction，是由歐拉最終創(chuàng)建的。

④微分符號(hào)dx。1684年，萊布尼茨發(fā)表了一篇論文《一種求極大極小和切線的新方法，它也運(yùn)用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算》，這是世界上最早的微積分文獻(xiàn)。這篇論文正式出現(xiàn)了微分符號(hào)，他取拉丁字“differentia”即“分細(xì)”的第一個(gè)字母。導(dǎo)數(shù)符號(hào)■也是萊布尼茨創(chuàng)建的。今天普遍使用的用撇表示導(dǎo)數(shù)f′（x），是1797年由法國數(shù)學(xué)家拉格朗日第一個(gè)給出的。

⑤偏導(dǎo)數(shù)符號(hào)？墜。1786年拉格朗日用“？墜”（rounded，讀作圓d）表示偏導(dǎo)數(shù)。

在數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)三個(gè)學(xué)科中，拉格朗日都有重大歷史性的貢獻(xiàn)，但他主要是數(shù)學(xué)家，研究力學(xué)和天文學(xué)的目的是表明數(shù)學(xué)分析的威力。全部著作、論文、學(xué)術(shù)報(bào)告記錄、學(xué)術(shù)通訊超過500篇。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐品方，張紅.數(shù)學(xué)符號(hào)史[M]. 科學(xué)出版社，2005.

[2]吳贛昌.微積分[M].中國人民大學(xué)出版社，2011.

作者簡(jiǎn)介：梁海濱（1978-），女，遼寧大連人，遼寧對(duì)外經(jīng)貿(mào)學(xué)院基礎(chǔ)課教研部副教授，研究方向：高等數(shù)學(xué)教學(xué)。