改進共形FDTD算法及其在RCS計算中的應用

【摘要】本文首先提出一種結合了三角近似與改進局部網格的共形FDTD算法，然后將該算法應用于金屬目標的雷達散射截面計算。實驗結果表明，該算法簡單高效，不需要通過減小時間步長的方式就能得到較高精度的穩定解。

【關鍵詞】改進局域網格共形時域有限差分法雷達散射截面

傳統的時域有限差分法（FDTD）以Yee[1]網格為基礎，對Maxwell微分方程直接差分離散，由于算法簡單，可擴展性強，已廣泛地應用于目標散射、天線、電磁兼容等的模擬分析與計算中。由于使用Yee網格，在對復雜電磁結構建模時，常常會遇到電磁邊界不能和傳統網格體系共形的情況。對于介質曲面來說，曲面突變導致的階梯近似誤差并不明顯，往往通過簡單的對電參數取平均的方式來減少計算誤差，而對于金屬曲面來說，階梯誤差的表現非常突出，雖然可以通過減小網格尺寸的方法來提高計算精度，但這無疑會增大內存需求和運行時間，并不適合于工程應用，使用曲面共形技術是種不錯的選擇。

一種簡單的共形方法稱為對角近似，這種方法的缺點是：為了得到穩定解，FDTD的時間步長必須減小到原來的一半。1992年，T.Jurgens和A.Taflove等人提出了Contour-Path方法[2]，求解電場和磁場的法拉第環路圍繞著物體邊界。這種方法精度較高，缺點是：計算復雜，同時也必須減小時間步長，遞推過程中還可能導致解的不穩定。1997年，S.Dey和R.Mittra提出新的共形技術[3]。只要求修改求解磁場的法拉第環路，算法的實現仍需減小時間步長，同樣也可能導致不穩定解。本文采用文獻[4]的方法對金屬曲面作共形處理。下面，首先給出曲面共形的基本原理，然后以金屬球的RCS計算為例，對算法的有效性進行驗證。

為了進一步減少由于計算曲面積分而帶來的時間消耗，采用三角近似法處理曲面邊界，即，將彎曲曲面近似為直線。算法中，對滿足共形條件的網格（圖1（a））采用常規的共形處理方案（CFDTD），即磁場的計算只考慮處于理想導體外的電場貢獻；對于那些不滿足條件的變形網格（見圖1（b）），積分區域沿整個網格進行，采用插值修正鄰近電場的方式對磁場進行修正。當磁場計算完后，電場仍按照一般的FDTD遞推公式進行迭代，不做任何的修改。下面，以Hz的迭代為例，具體給出兩種變形網格的共形處理方案。

二、數值結果與討論

分別以半徑為0.75m、1.5m、3m的金屬球的后向散射單站RCS計算為例，入射波最大頻率為300MHz，水平極化，垂直入射。網格步長為Δs=0.05m，時間步長為Δt=Δs/2c。

圖2為半徑是1.5m的金屬球的后向散射單站RCS曲線，圖2的數據結果顯示，未使用共形技術前，金屬球的RCS曲線在0～200MHz的中低頻部分出現較大的計算誤差，使用共形技術后，這種誤差有了明顯的改善。

表1列出了三種不同尺寸金屬球的RCS在使用共形技術前后的誤差比較。對于半徑0.75m的金屬小球，離散網格的數量不足以精確模擬球體形狀，對角近似的應用并不能夠有效改善梯形近似引起的誤差，甚至會增大這種誤差[5]。而對于半徑1.5m、3.0m的金屬球來說，算法本身所帶來的梯形近似誤差表現明顯，且隨著球體尺寸的增大而增加，這時，曲面共形技術的應用將中低頻部分（0～200MHz）的計算誤差進一步減小了（30%～70%）；在提高計算精度的同時，共形技術的使用并沒有縮短時間步長，盡管計算時間有所增加，但在同樣的迭代步數下就可以得到穩定解；比較兩種方法發現，共形技術的使用并沒有引起計算內存的大幅增加，內存增幅不超過30%，因此，結合了對角近似的改進局域網格共形技術適合于曲面結構電磁目標的散射場計算。

四、結論

本文將傳統的三角近似法與改進局部網格的共形技術相結合，建立了簡單高效的金屬曲面共形FDTD算法。實驗結果表明，該算法不需要通過減小時間步長的方式就能得到穩定解；相較普通的FDTD算法，共形技術的使用極大提高了曲面散射體在中低頻部分的計算精度，誤差減小幅度可達70%而內存的增加幅度只是30%，因此，結合了對角近似的改進局域網格共形技術適合于實際的工程應用。

參考文獻

[1] Yee K S. Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell equations in isotropic media. IEEE Trans Antennas Propag， 1966， 14（3）： 320-307.

[2] Jurgens T G， Taflove A， Umashankar K et al. Finite-difference time-domain modeling of curved surfaces [J]. IEEE Trans Antennas Propag， 1992， 40（4）： 357-366.

[3] Dey S， Mittra R. A locally conformal finite-difference time-domain（FDTD） algorithm for modeling three-dimensional perfectly conducting objects. IEEE Microwave Guided Wave lett [J]. 1997， 7（9）： 273-275.

[4]李龍、張玉、梁昌洪.波導寬邊縫隙天線的改進共行FDTD分析[J].電子學報. 2003， 31（6）： 860-863.

[5]張曉燕.地下目標電磁散射的時域有限差分計算[D].北京：中國科學院電子學研究所，2007.