期權定價的策略及定價方法研究

【摘要】以Black-Scholes模型為開端，現代期權定價理論已經擁有了近40年的歷史。隨著現代金融市場的發展，市場上創造了很多更為復雜的期權產品，而且隨著股票、債券、外匯和期貨市場的發展，以其為標的資產的期權產品也在收益率和價格上發生了變化。本文根據不同期權產品的基本特征，分析并研究目前存在的定價理論方法以及存在的問題。

【關鍵詞】期權 定價模型 布朗運動 維納過程 BS模型

一、引言

期權是一種金融衍生工具，期權最主要的特征是賦予期權的購買者一種交易或者操作的權利，在滿足一定條件或者發生某種具體事件時，期權的買方通過執行權力可以轉移風險或者獲利。

期權不僅包括以金融資產為標的資產并在公開市場交易的期權，也包括以實物資產為標的物的實物期權和以期權為標的資產的復合期權。但是，實物期權是一種不可交易的、依附于實體投資的選擇權，分析投資決策過程中的重要因素，會顯著地影響實物投資未來收益狀況。

在分析期權定價問題之前，首先需要認識目前存在的期權產品，因為不同性質的期權擁有不同的價格分布、風險特征、波動率交易規則和偏差率等問題。由于不同的期權行權條件、到期標的資產價格計算方式、期權標的資產種類以及權利性質是不同的，因此，在期權定價問題上，目前的學者都是根據具體期權的性質和特征，并尋找可以復制或者描述該具體期權價格分布、波動性或者收益率變動的數學模型或者資產組合，最后通過合成投資組合或者數學模型加以計算期權的價格和價格變化軌跡。

二、Black-Scholes模型

1973年布萊克和斯科爾斯推導出以無股利支付的股票為標的資產的歐式期權的定價模型。該模型假設：（1）期權為歐式期權；（2）期權的標的資產的收益率服從對數正態分布；（3）在期權有效期內，標的資產不支付股利；（4）市場是無摩擦的，不存在交易費用、稅收、無風險套利機會；（5）無風險收益率和標的資產收益率的變量是恒定的；（6）市場交易是連續的，不存在間斷性和跳躍性特征；（7）標的資產波動率為恒定值；（8）標的資產價格服從幾何布朗運動規律，即：，其中St表示股票的在t時間的價格，σ和μ分別表示股票的波動率和預期收益率，W表示標準布朗運動。

BS模型的基本思路是：影響標的資產價格的各種不確定因素也會對以該資產為標的資產的期權產生影響，在標的資產和期權都服從維納過程（布朗運動）的條件下，通過建立期權和標的資產的適當頭寸的投資組合，用以抵消連續時間隨機運動過程，則投資組合實現不存在無風險套利機會和零風險，收益率等于無風險收益率。

S表示標的資產價格，是歐式買入期權在t時期的價值，T是歐式買入期權的到期日，X是歐式買入期權的執行價格，r是無風險利率，σ2是標的資產收益率的波動率的方差。對微分方程

BS模型是現代金融期權定價模型的基礎，之后所提出的期權模型有些是根據對BS模型假設的修改，從新推導新的期權定價模型，或者是根據具體期權的性質從新的思路和方法中分析具體期權的定價問題。

三、跳—擴散模型

較早的期權定價模型一般都假設標的資產的價格服從布朗運動的特征，價格的波動是一種連續、獨立并且隨機的過程。但是，根據股票、債券甚至期貨等金融資產的歷史價格分析和指數分析已經證明布朗運動的假設條件是不成立的。金融資產的價格有時會受到重大事件的影響，價格呈現不連續地波動的特征。再者，布朗運動的假設下，各個金融資產呈現獨立波動的特征，但是歷史已經顯示出金融資產之間價格波動會呈現出相關性特征，甚至有些金融產品擁有自相關的特點，從而導致標準布朗運動假設無法成立。不僅如此，隨著更多的金融衍生品被創造并在公開市場中交易，標的資產的多樣化、交易規則的復雜化、價格的難以確定，造成BS模型所提出的假設條件大多無法實現，導致BS模型的實用性降低。

跳—擴散模型以BS模型提出的偏微分方程為基礎，通過引入導致標的資產價格呈現不連續波動的因素，表示標的資產的價格會受到突發事件的影響而導致價格變化呈現出跳躍性特征，引入了非系統性風險和系統性風險因素。在建立模型時，同時考慮標的資產的價格會圍繞期望收益率在一定方差范圍內連續波動，但是也會由于受到一些時間不確定的重大事件的影響，價格出現“跳水”問題。由于需要考慮導致價格“跳躍”的特殊事件，所以在建立表達標的資產價格波動的偏微分方程時，要引入具體特殊事件。

跳—擴散模型假設引起股票價格出現非連續波動的事件只有一類而且價格跳躍的風險為非系統性風險，多數學者利用泊松分布表達突發事件產生的概率，引入標準正態分布顯示價格跳躍的相對高度。跳——擴散模型的偏微分方程表達式為：

其中為標的資產價格；表示標的資產的收益率；表示標的資產收益率在沒有發生跳躍時的波動率；表示幾何布朗運動；是標的資產價格在一段時間內的隨機跳躍次數，服從參數為的泊松分布，表達價格受到突發事件影響而產生跳躍；為當標的資產價格發生跳躍時的相對高度；是服從正態分布的隨機變量。

根據無套利原則建立歐式買入期權和標的金融資產的投資組合，從而使投資組合實現零風險。跳——擴散模型的微分方程表達式為：

在利用跳—擴散模型計算美式期權時，由于美式期權提前執行的交易規則，通過解析法計算美式期權的價格顯示解難以實現。鄧國和（2009）提出結合指數分布，建立CIR隨機波動率與跳—擴散模型的積分分解公式，尋找期權執行的滿足非線性方程的有效邊界，將具體的美式期權分解為相應歐式期權和提前執行溢價的和，求解最佳實施邊界，從而使跳—擴散模型在美式期權定價方面可以使用。

四、云模型

實物期權最初由Stewart Myers（1977）提出，定義為包括在一項投資內的具體的投資或者管理的選擇權。擁有實物期權的表現在于，在有效期內，實物期權的買方可以根據投資狀況和市場變化，靈活地改變投資決策和管理方法，從而實現投資收益的最大化目標。實物期權與金融期權有著明顯的不同，實物期權的標的物是一項投資計劃或者實物資產，標的資產的價格有可能無法估算，期權的執行價格是整個投資計劃或者實物資產的總成本，實物期權由于沒有契約所以也無法在公開市場交易。由于實物期權的不可交易性，并且根據無套利原則進行“復制”十分困難。因此，需要對實物期權進行進一步的數學處理，以滿足使用BS模型等期權定價模型的條件。

我國學者于少偉（2010）提出使用云模型計算實物期權價格。云在數學上的定義是：是一個論域，L是同U相聯系的語言值，U中的元素x對T表達的定性概念的隸屬度是一個具有穩定傾向的隨機數，隸屬度在論域上的分布稱為“云”，全稱為“隸屬云”。利用云模型計算實物期權價格的主要優點在于可以有效解決項目價值和投資成本難以決定的難題。

云模型的基本思想是：首先確定實物期權執行價格和標的資產價值可能的不同的估值區間，之后采用逆向云計算法對若干估值區間進行云化處理，從而得到執行價格和標的資產價值最為合理的區間上限和下限，在使用綜合云計算法計算期望值，在獲得所需變量的數字后使用具體的期權定價模型計算實物期權的價格。具體的數學處理方法為：首先根據某一變量X給出若干的價值區間，計算樣本均值，方差，同時設，使用綜合云計算法計算上限和下限的云值，引入具體的期權定價模型，使用公式確定標的資產的波動率，使用、作為標的資產價格和期權執行價格，利用逆向云計算法、綜合云計算法所獲得的云作為、計算、。

在使用云模型確定期權價格時，需要注意：（1）在確定具體參數時，可能主觀判斷會影響模型估值的準確性；（2）在進行云計算時，原參數的處理可能導致元參數系數的改變；（3）受到逆向云計算法無法處理區間數的限制，現實中的具體參數很難用具體數值來確定。

五、蒙特卡洛模擬法

由于解析法的數學模型擁有十分嚴格的假設條件，因此很多期權產品受到標的資產種類、交易規則、執行價格決定方式等的限制，使用數學模型求解期權價格可能存在很大的誤差，甚至是錯誤的。為了避免使用數學模型估計期權價格所面對的維數問題和收斂問題，可以通過多次運算進行大數統計的方法求解期權平均價格和期望值。

Monte Carlo模擬法是一種統計與概率論相結合的綜合性計算方法。蒙特卡洛模擬法的基本思路是：在風險中性的假設前提下，通過已知的標的資產的價格分布函數，將期權的有效期平均分割成若干的小時間段，在每個小時間段通過計算機對已知的分布函數進行隨機抽樣用來模擬標的資產的價格可能的走勢，再根據一定的數學方法計算期權的最終價值，利用具體的收益率進行折現計算期權的當期價值，將此次計算出的當期價值作為期權價格的一個樣本，不斷地重復以上的計算步驟，求解更多可能的期權價格隨機樣本數值，重復至少幾千次同樣的運算步驟，在根據求得的期權價格隨機樣本數值計算算術平均值，求得期權的平均價格。

蒙特卡洛模擬法在歐式期權定價方面的使用上，因為歐式期權只有在到期日才可以執行，因此按照以上提出的思路，計算出從期權發行日到期權到期日的時間內各個小時間段的收盤價，并根據執行價格和到期收盤價的差值計算期權的到期價值。數學表達為：假設標的資產服從風險中性的幾何布朗運動，標的資產價格的微分方程為，設Z是一個標準正態分布的隨機樣本，如果整個時間段被分隔成，根據伊藤定理標的資產價格公式為，所以是服從均值為方差為的正態分布，通過隨機抽樣模擬標的資產的價格走勢，按照或者的原則確定買入期權或者賣出期權的價值，最后根據折現后的期權價值現值或者，計算算術平均值或者以確定期權的當期價格。亞式期權定價與歐式期權基本相同，但是在確定執行價格時，要依靠整個模擬過程的價格走勢來計算執行價格。

美式期權可以在整個期權有效期內的任何時間執行，Longstaff和Schwartz（2000）提出利用最小二乘蒙特卡洛模擬法。在使用蒙特卡洛模擬法計算美式期權價格時，一般來說引入收益率概念，通過比較持有期權的收益率和執行期權的收益率，判斷是否執行期權。利用最小二乘法求解持有期權的期望收益的系數，收益率的期望數方程為，需要通過模擬的標的資產價格走勢進行逆向求解的方式獲得。

在確定蒙特卡洛模擬法的模擬次數的時候，需要平衡運算量和期權價格準確性，保證最有模擬次數。可以引入邊際模擬價值概念來決定最優的模擬次數，公式為：，當邊際模擬價值接近或等于0時，表明此時的模擬次數是最優的。

六、二叉樹模型

二叉樹模型是由Cox、Ross和Rubinstein在1979年提出的，二叉樹模型與蒙特卡洛模擬法一樣，是一種確定期權價格的數值法。本質是通過預測標的資產價格變動方向和價格，根據概率和風險中性假設，得到具體期權的預期價值，通過逆推方法得到期權的當前價格。

建立二叉樹模型的基本思路是通過將期權的有效期分割成若干個小的時間段，設定價格上升和下降的幅度，再根據假設的標的資產價格變動的微分方程，根據風險中性原則計算價格上下變動的概率，之后計算期權有效期所有時間段的可能價格。如果期權是歐式期權則考慮到期日日時的價格并計算期權價值，在通過折現求解期權的當前價格；如果期權是美式期權，則在每個價格點上計算期權的當期價值，在t時刻如果期權價值大于0則執行期權，如果期權小于0則放棄執行，使用具體的收益率進行折現，使用具體的概率值求解期望值，從而得到期權在t-1時刻的價值，重復以上步驟直到當前時刻，得到期權的當期價格。數學模型表達為：一個美式買入期權當前標的資產價格為執行價格為X有效期為T，將期權的有效期分割為n個小時間段，期權的價格只按照u上漲或者按照d下降，第1期買入期權價值為，且，以此類推直至第n期的標的資產價格并且計算美式買入期權的價值，建立買入標的資產和賣出美式買入期權的投資組合，在無套利原則下，無論標的資產價格如何變動，投資組合的收益率始終是無風險收益率，公式表達為 且，以此計算對沖比例值，根據方程組計算上升的概率和下降的概率，計算結果為，再延伸至n期的定價模型中，美式買入期權的定價公式為。美式賣出期權的定價思路與美式買入期權的定價思路是一樣的，但是在確定賣出期權的價值時需要注意確定原則是，此外計算方法和上升下降的概率公式是一樣的。

七、其他期權定價模型

目前，隨著數學、統計學、心理學等學科的發展，更多其他專業的研究成果被應用到期權定價問題的研究上，極大地豐富了期權定價領域的內容。但是，現實中各個國家的金融市場受到本國國家發展的影響，有些國家的期權市場很難實現經典模型中所要求的“復制”，從而造成使用風險中性假設、不存在無風險套利投資組合原則的經典期權定價模型實用性降低。

金融市場作為一個綜合性多層次的交易環境，市場中所有的組成要素都在隨時隨地發生變化，傳統的線性模型經常無法滿足現實中金融市場的條件。在期權定價領域中，目前最為普遍使用的非線性模型就是基于神經網絡的期權定價模型。神經網絡模型對生物的神經網絡系統進行模擬，神經元作為基本的計算單位，神經網絡的信息處理由網絡單元的輸入輸出、拓撲結構所決定的一個典型的神經網絡系統由輸入層、隱含層和輸出層組成，如圖所示：

如果想要獲得所預期的結果，就必須經過訓練，每條連接的弧線都有自身相應的權重，學習導致弧線的權重數值變化，從而影響實際輸入和預期輸出之間的誤差。輸入和輸出之間存在一個激活函數，輸入值是激活函數自變量的函數，即：；輸出結果是激活函數因變量，即：，并且存在反饋效應。描述期權定價問題，利用神經網絡模型構建定價模型中的參數的混合密度網絡，并基于參數的混合分布計算一段時間后標的資產的價格，進而確定期權的價值。

八、結語

現代金融學，金融資產的定價理論是以無套利定價原則和投資組合復制原則為基礎發展起來的。未來在金融工具定價的問題上，需要不斷引入更多其他學術領域的研究成果用以幫助定價理論的發展，再者，更需要尋找除了無套利原則和投資組合復制原則以外的其他定價模型推導的原則，深入研究金融市場的特征和與產品市場、甚至政府之間的關聯，在模型使用上擴大涉及的范圍，在原則上更加貼近現實需要。

參考文獻

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基金項目：北京市屬高校人才強教深化計劃——中青年骨干教師培養計劃（2013），項目代碼00491362340122。

作者簡介：淮濤（1989-），男，漢族，安徽人，就讀于首都經濟貿易大學經濟學院，主修方向：國民經濟學。

（編輯：劉婷婷）