數值模擬應用于地下水動力學課程教學的研究與實踐①

摘 要：水文過程常因其抽象性和復雜性使課堂教學難以取得良好的效果。地下水動力學中的利用高階微分方程的計算問題是該課程的重點和難點，針對地下水動力學課程的高階計算問題，把數值模擬方法引入到教學，以對實際的區域性地下水計算問題的求解，將地下水動力學的基本概念、基礎公式、數值模擬、以及實際問題的求解完整的過程應用于教學實踐，探索將數值模擬服務于教學的新方法。對課堂教學效果的調查表明，數值模擬的引入，不但增強了課堂教學表現力和教學效果，同時，有利于促進科學研究的方法和成果與教學實踐的相結合。本次教學研究及實踐活動所采取的方法和模式，期待為水文專業有關課程教學改革的深入進行和創新性教學研究的開展提供參考和借鑒。

關鍵詞：地下水動力學 數值模擬 教學研究

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9795（2013）07（a）-0071-03

“地下水動力學”是水文與水資源工程、地下水科學與工程、地質工程、水文地質工程等專業的一門重要的專業基礎課。學習本課程的目的在于掌握地下水運動的基本理論，能初步運用這些基本理論分析地下水運動問題，進而解決實際的水文地質問題，并能建立相應的數值模型和提出適當的計算方法或模擬方法，對地下水進行定量評價[1～2]。本課程內容當中，利用地下水運動基本方程式（二維或三維）的求解問題是一個重點和難點問題，由于有關內容的抽象性和復雜性，加之計算量較大且求解相對苦難，課堂教學難于獲得較好的效果。高等學校實施以創新精神和實踐能力為重點的素質教育，其關鍵是要求改變教師的教學方式和學生的學習方式。創造性教學目標的實現離不開創新性學習方法的正確運用[3]。地下水動力學課程要求學生具備一定的構建數值模型以及求解問題的能力。在以往的教學研究中，已不斷嘗試將數值模擬（計算）引入到水文專業有關課程的教學[4～5]，探索創新性教學方法。本文基于以往將數值模擬引入到水文專業課程的教學研究結果，將數值計算方法應用于地下水動力學課程中的利用高階微分方程求解的教學實踐，以對區域性地下水實際問題的求解過程為例，在教學時將地下水動力學的基本概念、基礎公式、數值模擬、以及實際問題求解的整體過程進行系統地講授，使知識結構的講解與學生接受知識的邏輯思維更容易統一。以數值模擬為手段對抽象的地下水流況及水位進行數字化圖示，提升課堂表現力，增強教學效果，探索數值模擬與教學實踐更好結合的新方法，以期為水文水資源專業相關課程教學改革的深入進行提供參考和借鑒。

1 教學流程

數值模擬是以計算機為手段，通過計算和圖像顯示的方法，達到對工程問題、物理問題乃至自然界各類問題研究的目的。在科學技術和社會生活的各個領域中抽象出來的許多數學問題可以應用計算機計算求解，注重算法思想及與工程實際相結合[6]。數值模擬來源于對實際問題計算的需要，在建立算法和求解過程中發展、并面向實踐，與計算機的使用密切結合[7～8]。數值模擬被廣泛地應用于水科學與工程科學研究領域。本文針對地下水動力學課程中利用高解微分方程式的求解問題，將科研活動中區域性地下水數值模擬的實例引入到教學當中，其教學流程如圖1所示。

2 數值模擬方法引入

2.1 地下水運動的基本微分方程

用于數值模擬的基礎方程式為二維（準三維）地下水運動的基本微分方程，準三維系指在考慮地下水平面二維運動的基礎上（沿x、y方向），同時，考慮垂向的水收支成分和過程，但數值計算時，只對x、y方向對水文要素進行差分，在垂向（z向）不進行差分。潛水（非承壓水）和承壓水運動的基本微分方程式如式（1）及式（2）。

潛水運動基本微分方程式：

（1）

承壓水運動基本微分方程式：

（2）

式中，t為時間因子，其單位步長為0.01 h；x為空間尺度因子，其水流方向上的步長為Δx=Δy=50 m；h為對應于不同含水層的水深，（m）；H為水位，（m）；kx、ky為x、y方向的滲透系數，（m·s-1）；λ為有效孔隙率；r為雨水滲透速度，（m·s-1）；q為潛水的向下入滲速度，（m·s-1）；S為貯水系數；Tx、Ty分別為x、y方向的導水系數，Tx=kx·B、Ty=ky·B（其中B為層厚，m），（m2·s-1）；R越流因子，（m·s-1）；Q取水因子，（m·s-1）。

2.2 數值模型構建

2.2.1 有限差分

（3）

（4）

式中，n為計算時間的次序編號；i，j為柵格編號。

2.2.2 計算條件

（1）工程實例。選取某流域下游入海口前的沖積平原為區域性地下水計算對象，該區域東西長10 km、南北12 km（圖2）。據對該區地理條件的調查結果，在土壤縱剖面上存在3個含水層分別為潛水層、第1承壓含水層、第2承壓含水層。對第2承壓含水層的地下水的觀測進行了觀測，觀測點有8個（圖2中標號①～⑧）。

（2）邊界條件。計算區域內的主要水體主要有3條河，下游有一個小型湖泊和海岸，3條河流分別標記為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ（圖2橢圓形括弧內），湖泊和海標記為Ⅳ。據對該區水文地質條件的實際調查，計算采用第一類邊界條件，即給定邊界的初始水頭（水位）。

（3）參數率定及編程。計算需用到各不透水層的水力學參數以及含水層的初始水位等參數，各含水層計算初始狀態如圖3所示，需要用計算機語言進行編程，開發用于計算的程序，相應內容較為復雜，在此略去。

2.3 數值模擬

對觀測點①～⑧的地下水水位進行數值模擬，因為各點數值模擬結果的精度相差不大，給出①、②、④、⑤點的模擬結果如圖4（a～d）所示，在實測結果和觀測值共有的時段內，對8個點的模擬結果進行擬合優度檢驗，整體上，確定系數R在0.85以上，說明模模型效率較高。對數值計算結果整理，計算結束時，各含水層的水位及流況如圖5所示。

3 教學實踐

（1）理論教學。理論教學的主要包括基于質量守恒定律推導和建立地下水運動的基本方程式，定解條件的確定方法，有限差分以及計算實例的基本情況介紹等內容。理論教學重點在于使學生理解地下水運動基本方基本方程式建立的過程、以及利用方程式進行求解的基本思路。

（2）數值模擬演示。以上述區域性地下水數值模擬的實例，向學生系統地介紹利用地下水運動的基本方程式對地下水求解的方法和過程，展示數值模擬結果以及計算結果（如圖2、圖3、圖4所示內容）。使學生對地下水數值模擬方法有一定程度的了解，同時，結合對計算結果的圖示及分析，使學生可以清楚地了解地下水在時間和空間上的變化過程。

4 教學效果評析

采用對學生隨機調查的方式，對課堂教學效果進行測評，對評議結果的整理如下：

（1）數值模擬方法的引入，使“理論知識—求解實際問題—結果展示”在教學次序上實現了系統地結合，是教學內容的編排在邏輯上更加合理，有利于學生對知識的接收。數值模擬，使抽象、困難、復雜的地下水求解問題變得相對具體、易懂、直觀，增強了課堂表現力和教學效果，提升了學生的學習興趣。

（2）數值模擬過程的演示，不但使學生對利用高階微分方程式求解地下水計算問題的方法有了較深入的了解，而且使學生對地下水在時空上的運動過程有了較直觀的感性認識，在接收知識以及對知識的深入理解上，有利于從混沌感性到清晰感性的整理過程。

（3）實際工程問題（區域性地下水實例）的引入，有利于促進科研的實際問題與課堂教學相結合，使較先進的科研方法（如數值模擬）以及科研成果有效地服務于教學，有利于培養學生的創新意識和創新能力，對探索課程創新性教學方法的深入開展有一定的推動作用，對數值模擬方法更好地應用于教學實踐提供了參考模式。

5 結語

將數值模擬的方法應用于地下水動力學課程中的利用高階微分方程求解問題，不但使教學效果得到了增強，而且有助于開發學生的創造性思維能力和培養學生的科研興趣，增強學生對感性材料進行加工并轉化為理性認識及解決問題的能力。課程的基本理論與數值模擬相結合的教學方式，對探索創新性教學方法以及創造性教學理念的形成具有一定的促進作用。

參考文獻

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[2]文章.關于地下水動力學教學改革與實踐的幾點思考[J].科技創新導報，2010（18）：175.

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